Основные законы и формулы
Магнитный момент контура с током
,
где
-
ток;
-
площадь, ограниченная контуром;
-
нормаль к контуру, направление которой
связано с направлением тока в контуре
правилом правого винта.
Примеры решения задач
1.
Найти магнитный момент тонкого кругового
витка с током, если радиус витка
и индукция магнитного поля в его центре
.
Решение
2
.
Вычислить магнитный момент тонкого
проводника с током
,
плотно повитого на половину тора
(рис.1.1). Диаметр сечения тора
,
число витков
.
Решение
Магнитный момент
каждого витка направлен перпендикулярно
плоскости витка, поэтому результирующий
вектор
будет направлен горизонтально вправо
(рис. 1.1). Это значит, что для нахождения
модуля вектора
достаточно сложить проекции векторов
от всех витков в угловом интервале от
до
.
,
где
-
число витков в угловом интервале
.
Таким образом,
.
3. Тонкий
провод (с изоляцией) образует плоскую
спираль из
плотно расположенных витков, по которым
течёт ток
.
Радиусы внутреннего и внешнего витков
и
(рис.
1.2). Найти магнитный момент спирали при
данном токе.
Р
ешение
Результирующий
магнитный момент
приложен в точке
и направлен перпендикулярно плоскости
плоской спирали, в соответствии с
правилом правого винта.
,
где
,
,
где
- линейная плотность тока.
Таким образом,
,
.
4
.
Рассчитать магнитный момент в центре
проводящей сферы радиуса R,
заряженной до потенциала
,
вращающейся с угловой скоростью
.
Решение
Результирующий
магнитный момент
направлен согласно схеме (рис.1.3) и равен
,
где
- элементарный магнитный момент,
создаваемый элементарным током
вследствие вращения с угловой скоростью
зарядов
,
находящихся на поверхности сферы.
определяется по
стандартной формуле
,
где
и
,
,
где
- поверхностная плотность заряда, а
(рис.1.3).
Учитывая, что
,
и
,
найдем
,
где
и
,
.
Таким образом,
и
.
5. Заряд Q равномерно распределен по объему однородного шара массы m и радиуса R, который вращается вокруг оси, проходящей через его центр, с угловой скоростью . Найти соответствующий магнитный момент и его отношение к механическому моменту.
Р
ешение
Решим задачу в цилиндрических и сферических координатах.
а)
В цилиндрических координатах
(рис.1.4а) решение представляется в виде
,
где
,
,
,
где
,
-объемная
плотность заряда и
-элементарный
объем.
Таким образом,
,
,
Произведём замену
,
тогда
=
.
.
Заменим
(см. задачу 4).
б
)
В сферических координатах
(рис. 1.4б) решение
представляется в виде
,
где
,
.
, где , и
.
Таким образом,
6. Заряд Q равномерно распределён по объёму однородного цилиндра радиусом R, который вращается вокруг оси, проходящей через его центр, с угловой скоростью . Найти соответствующий магнитный момент.
Решение
Решим задачу в
цилиндрической системе координат (см.
рис.1.4а).
,
,
,
,
,
.
Таким образом,
.