Продифференцируем
,
(5.3)
В процессе растяжения упрочнение (нарастание dσs,) ведет к росту усилия, а уменьшение площади поперечного сечения способствует уменьшению усилия. Равновесие этих двух составляющих наступает в момент образования шейки, следовательно:
,
(5.4)
Из условия постоянство объекта:
,
(5.5)
=
=
,
(5.6)
Подставляем
в (5.4)
=
,
,
;
.
(5.5)
Если провести касательную через точку на кривой, соответствующей, началу образования шейки, то:
,
(5.6)
где α – угол наклона касательной к оси абсцисс.
Определим величины отрезков, отсекаемых касательной на горизонтальных и вертикальных осях.
Из
Δ АВС
так
как
=
,
то
(5.7)
;
Из подобия Δ АВС и ΔAbc следует, что
;
учитывая
,
;
(5.8)
(5.9)
Таким образом, касательная, проведенная к кривой первого рода, в точке соответствующей началу образования шейки отсекает на отрицательной части оси деформации отрезок, численно равный единице деформации, а на оси напряжения текучести отрезок равный пределу прочности σb .
При отыскании приближенной зависимости в теории ОМД часто используют линейную аппроксимацию кривой упрочнения.
В качестве прямой, приближенно характеризующей изменение напряжения текучести в зависимости от деформации принимают касательную, приведенную к кривой упрочнения в точке образования шейки.
Вид этой зависимости для кривой упрочнения первого рода будет:
(5.10)
где σb – предел прочности ε - деформация
– модуль
упрочнения.
Рассмотрим кривые упрочнения второго рода (5.6)
Рис. 5.6. Кривая упрочнения второго рода
Из соотношения для
(5.11)
относительной площади следует
(5.12)
(5.13)
Подставим (5.12) и (5.13) в уравнение (5.4)
(5.14)
Получим:
Из
ΔAbc
Из
ΔABC
,
,
В итоге получаем
(5.15)
Таким образом, касательная, проведенная к кривой упрочнения второго рода в точке соответствующей началу образования шейки отсекает на перпендикуляре к оси абсцисс в точке Ψ = 1, отрезок, численно равный удвоенному значению напряжения текучести в момент образования шейки.
Отрезок,
отсекаемый на оси ординат обозначают,
- экстраполированный предел текучести.
В случае линейной аппроксимации уравнение кривой упрочнения второго рода будет:
(5.16)
Где – модель упрочнения.
Линейная аппроксимация кривых упрочнения дают несколько завышенные значения σs, особенно в области малых деформаций.
Поэтому иногда принимают степенную функциональную зависимость.
=
(5.17)
Где С и n – константы полученные на основании экспериментальных данных. Для различных интервалов (участков) деформирования могут быть указаны различные С’ и n.
С достаточной степенью точности отражает зависимость влияния упрочнения на σs, формула предложенная Губкиным С.И. [2]
=
(5.18)