- •Введение
- •1. Статика
- •1.1. Основные понятия статики
- •1.1.1. Момент силы Алгебраический момент силы относительно точки
- •Векторный момент силы относительно точки
- •Момент силы относительно оси
- •1.1.2. Пара сил Пара сил и алгебраический момент пары сил
- •1.2. Аксиомы статики
- •1.3. Простейшие теоремы статики
- •1.4. Приведение системы сил к простейшей системе. Условия равновесия
- •Равновесие пар сил
- •Условия равновесия произвольной системы сил в векторной форме
- •Условия равновесия пространственной системы сил в аналитической форме
- •Условия равновесия пространственной системы сходящихся сил
- •Условия равновесия пространственной системы параллельных сил
- •Условия равновесия плоской системы сил
- •1.5. Центр тяжести твердого тела Центр параллельных сил
- •Способы нахождения центра тяжести
- •1.6. Распределенные силы
- •1.7. Трение Трение скольжения
- •Трение качения
- •1.8. Решение задач статики
- •2. Кинематика
- •2.1. Кинематика точки
- •2.1.1. Скорость и ускорение точки
- •2 .1.2. Векторный способ задания движения точки
- •2.1.3. Координатный способ задания движения точки
- •2.1.4. Естественный способ задания движения точки
- •Частные случаи движения точки
- •2.2. Кинематика твердого тела
- •2.2.1. Поступательное движение твердого тела
- •2.2.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Частные случаи вращения твердого тела
- •Скорости и ускорения точек тела при вращении вокруг неподвижной оси
- •Векторы угловой скорости и углового ускорения
- •Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела
- •2.3. Сложное движение точки
- •Ускорение Кориолиса
- •2.4. Плоское (плоскопараллельное) движение твердого тела
- •2.4.1. Скорости точек плоской фигуры
- •2.4.2. Мгновенный центр скоростей
- •2.4.3. Ускорения точек плоской фигуры
- •2.4.4. Мгновенный центр ускорений
- •2.5. Решение задач кинематики
- •3. Динамика
- •3.1. Аксиомы динамики
- •3.2. Динамика материальной точки
- •3.2.1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •3.2.2. Две основные задачи динамики точки
- •Первая задача
- •Вторая задача
- •3.2.3. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки
- •3.3. Геометрия масс
- •3.3.1. Центр масс
- •3.3.2. Моменты инерции Моменты инерции относительно точки и оси
- •М оменты инерции относительно осей координат
- •3.3.3. Теорема Штейнера
- •3.3.4. Моменты инерции однородных тел
- •3.4. Теоремы динамики
- •3.4.1. Теорема о движении центра масс
- •3.4.2. Теорема об изменении количества движения Количество движения точки и системы
- •Теорема об изменении количества движения точки
- •Теорема об изменении количества движения системы
- •Законы сохранения количества движения
- •3.4.3. Теорема об изменении кинетического момента
- •Теорема об изменении кинетического момента точки
- •Теорема об изменении кинетического момента системы
- •Законы сохранения кинетических моментов
- •Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Теорема об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению к центру масс
- •Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела
- •3.4.4. Теорема об изменении кинетической энергии Работа силы
- •Примеры вычисления работы силы
- •Кинетическая энергия
- •Теорема об изменении кинетической энергии точки
- •Теорема об изменении кинетической энергии системы
- •3.5. Принцип Даламбера Принцип Даламбера для материальной точки
- •Принцип Даламбера для системы материальных точек
- •Силы инерции твердого тела в частных случаях его движения
- •3.6. Элементы аналитической механики
- •3.6.1. Классификация механических связей
- •3.6.2. Возможные перемещения
- •3.6.3. Элементарная работа силы на возможном перемещении. Идеальные связи
- •3.6.4. Принцип возможных перемещений
- •3.6.5. Обобщенные координаты системы
- •3.6.6. Обобщенные силы
- •Вычисление обобщенной силы
- •Условия равновесия системы сил в терминах обобщенных сил
- •3.6.7. Общее уравнение динамики
- •3.6.8. Уравнения Лагранжа второго рода
- •3.7. Решение задач динамики
- •Контрольные Вопросы
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Контрольные вопросы…….………………………………….. 151 Заключение……………………………………………………. 154 Библиографический список………………………………….. 155
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
3.6.6. Обобщенные силы
Запишем сумму элементарных работ сил, действующих на точки системы, на возможном перемещении системы:
. (226)
Пусть голономная система имеет степеней свободы и, следовательно, ее положение в пространстве определяется обобщенными координатами .
Подставляя (225) в (226) и изменяя порядок суммирования по индексам и , получим
. (226')
где скалярная величина
называется обобщенной силой, отнесенной к обобщенной координате . Используя известное выражение для скалярного произведения двух векторов, сообщенную силу можно также представить в виде
, (227)
– проекции силы на оси координат; – координаты точки приложения силы.
Размерность обобщенной силы в соответствии с (226') следующим образом зависит от размерности , совпадающей с размерностью :
, (228)
т. е. размерность обобщенной силы равна размерности работы силы (энергии) или момента силы, деленной на размерность обобщенной координаты, к которой отнесена обобщенная сила. Из этого следует, что обобщенная сила может иметь размерность силы или момента силы.
Вычисление обобщенной силы
1. Обобщенную силу можно вычислить по формуле (227), ее определяющей, т.е.
.
2. Обобщенные силы можно вычислять как коэффициенты при соответствующих вариациях обобщенных координат в выражении для элементарной работы (226'), т. е.
. (226'')
3. Наиболее целесообразен способ вычисления обобщенных сил, который получается из (226''), если системе сообщить такое возможное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная координата, а другие при этом не изменяются. Так, если , а остальные , то из (179') имеем
.
Индекс указывает, что сумма элементарных работ вычисляется на возможном перемещении, при котором изменяется (варьируется) только координата . Если варьируемой координатой является , то
. (227')
Условия равновесия системы сил в терминах обобщенных сил
Условия равновесия системы выводятся из принципа возможных перемещений. Они применимы к системам, для которых этот принцип справедлив: для равновесия механической системы, подчиненной голономным, стационарным, идеальным и неосвобождающим связям, в момент, когда скорости всех точек системы равны нулю, необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы были равны нулю
. (228')
3.6.7. Общее уравнение динамики
Общее уравнение динамики для системы с любыми связями (объединенный принцип Даламбера-Лагранжа или общее уравнение механики):
, (229)
где – активная сила, приложенная к -ой точке системы; – сила реакции связей; – сила инерции точки; – возможное перемещение.
Оно в случае равновесия системы при обращении в нуль всех сил инерции точек системы переходит в принцип возможных перемещений. Обычно его применяют для систем с идеальными связями, для которых выполняется условие
В этом случае (229) принимает одну из форм:
,
,
. (230)
Таким образом, согласно общему уравнению динамики, в любой момент движения системы с идеальными связями сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерции точек системы равна нулю на любом возможном перемещении системы, допускаемом связями.
Общему уравнению динамики можно придать другие, эквивалентные формы. Раскрывая скалярное произведение векторов, его можно выразить в виде
,
где – координаты -ой точки системы. Учитывая, что проекции сил инерции на оси координат через проекции ускорений на эти оси выражаются соотношениями
,
,
,
общему уравнению динамики можно придать форму
.
В этом виде его называют общим уравнением динамики в аналитической форме.
При использовании общего уравнения динамики необходимо уметь вычислять элементарную работу сил инерции системы на возможных перемещениях. Для этого применяются соответствующие формулы для элементарной работы, полученные для обычных сил. Рассмотрим их применение для сил инерции твердого тела в частных случаях его движения.
При поступательном движении. В этом случае тело имеет три степени свободы и вследствие наложенных связей может совершать только поступательное движение. Возможные перемещения тела, которые допускают связи, тоже являются поступательными.
Силы инерции при поступательном движении приводятся к равнодействующей . Для суммы элементарных работ сил инерции на поступательном возможном перемещении тела получим
,
где – возможное перемещение центра масс и любой точки тела, так как поступательное возможное перемещение у всех точек тела одинаково: одинаковы и ускорения, т. е. .
При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. Тело в этом случае имеет одну степень свободы. Оно может вращаться вокруг неподвижной оси . Возможное перемещение, которое допускается наложенными связями, является тоже поворотом тела на элементарный угол вокруг неподвижной оси.
Силы инерции, приведенные к точке на оси вращения, сводятся к главному вектору и главному моменту . Главный вектор сил инерции приложен к неподвижной точке, и его элементарная работа на возможном перемещении равна нулю. У главного момента сил инерции не равную нулю элементарную работу совершит только его проекция на ось вращения . Таким образом, для суммы работ сил инерции на рассматриваемом возможном перемещении имеем
,
если угол сообщить в направлении дуговой стрелки углового ускорения .
При плоском движении. Связи, наложенные на твердое тело, допускают в этом случае только плоское возможное перемещение. В общем случае оно состоит из поступательного возможного перемещения вместе с полюсом, за который выберем центр масс, и поворота на элементарный угол вокруг оси , проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости, параллельно которой может совершать тело плоское движение.
Так как силы инерции при плоском движении твердого тела можно привести к главному вектору и главному моменту (если за центр приведения выбрать центр масс), то сумма элементарных работ сил инерции на плоском возможном перемещении сведется к элементарной работе отавною вектора сил инерции на возможном перемещении центра масс и элементарной работе главного момента сил инерции на элементарном поворотном перемещении вокруг оси , проходящей через центр масс. При этом не равную нулю элементарную работу может совершить только проекция главного момента сил инерции на ось , т.е. . Таким образом, в рассматриваемом случае имеем
,
если поворот на элементарный угол направить по дуговой стрелке для .