1.2. Классификация и назначение моделей

В зависимости от целей и предмета моделирования различают теоретические и прикладные модели.

Теоретические модели отображают общие свойства экономики и ее компонентов с помощью метода дедукции, позволяющего делать выводы из формальных предпосылок. Прикладные модели обеспечивают возможность оценки параметров функционирования конкретных технико-экономи-ческих объектов и обоснования выводов для принятия управленческих решений.

По форме представления объектов и в зависимости от используемых средств моделирования все модели делятся на материальные и идеальные (абстрактные).

Материальные модели воспроизводят основные геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики изучаемого объекта. К материальным моделям относятся физические и аналоговые модели.

Физическая модель представляет собой некоторую реальную (“физическую”) систему. Эта система может являться частью моделируемой системы или отличаться от моделируемой системы размерами и другими параметрами, но при этом сохранять важные для исследователя свойства системы. В физических моделях обеспечивается аналогия физической природы оригинала и модели.

Примеры физических моделей:

1) Система, состоящая из модели самолета, воспроизводящей его форму, и аэродинамической трубы, которая воспроизводит свойства воздушного потока, обтекающего самолет. С помощью такой модели можно измерять аэродинамическую силу, действующую на самолет в разных условиях полета – соответствующие датчики показывают величины напряжений, возникающих в различных местах конструкции. При этом на основе теории подобия основные выявленные характеристики переносятся на настоящий летательный аппарат.

2) Макет городского квартала, размещающийся на столе, позволяет проверить архитектурные качества проекта, внешний вид зданий, особенности освещенности домов в разное время суток и т.п.

3) Лабораторная установка для получения некоторого продукта может рассматриваться как модель промышленного производства этого продукта. Эксперименты с такой моделью позволяют создать проект технологии получения продукта в промышленных условиях.

4) Отдельное предприятие или отдельный район, поставленный в особые экономические условия, можно рассматривать как модель, служащую для проверки каких-либо предложений в области планирования и управления.

Действия исследователя с физической моделью состоят в наблюдении за процессами в модели, в регистрации и измерении тех ее параметров, которые можно использовать для выводов относительно свойств реальных объектов и процессов. Без исследования модели самолета в трубе, большие напряжения в крыльях могут привести к разрушению самолета. Без предварительных экспериментов с моделью здание может оказаться не достаточно красивым, не гармонировать с окружающей средой.

Структура физической модели, т.е. набор элементов, из которых она состоит, и схема их взаимодействия, часто повторяет структуру моделируемой системы. Поэтому физическое моделирование дает надежные и наглядные результаты. Недостаток физического моделирования состоит в сложности, уникальности и дороговизне моделей.

Аналоговые модели основываются на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально (одними и теми же математическими уравнениями, логическими схемами и т.п.). Например, изучение механических колебаний с помощью электрической схемы колебательного контура (в обоих случаях процесс описывается теми же дифференциальными уравнениями).

В обоих типах материального моделирования модели являются материальными отражениями исходных объектов и связаны с ними своими геометрическими, физическими и другими характеристиками, причем процесс исследования тесно связан с материальными воздействиями на модели, т.е. состоит в натурном экспериментировании с ними.

От предметного моделирования принципиально отличается абстрактное (идеальное) моделирование, которое основано не на материальной аналогии объекта и модели, а на аналогии идеальной, мыслимой.

Различают следующие типы идеального моделирования: интуитивное (мысленное) и знаковое (семиотическое).

Под интуитивным понимают моделирование, основанное на интуитивном представлении об объекте исследования, не поддающемся формализации, либо не нуждающемся в ней. В этом смысле, например, жизненный опыт каждого человека может считаться его интуитивной моделью окружающего мира. Такое моделирование часто встречается в тех областях, где познавательный процесс находится еще на начальной стадии.

Знаковым называется моделирование, использующее в качестве моделей знаковые преобразования какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, формулы, наборы символов и т.д., а также включающее совокупность законов, по которым можно оперировать с выбранными знаковыми образованиями и их элементами. Знаковые модели делятся на логические, геометрические и математические.

В символических моделях параметры реального объекта и отношения между ними представлены символами: семантическими (словами), логическими, математическими. К такими моделям относятся: словесные описания функционирования объектов – сценарии; схематические модели – чертежи, графики, блок-схемы, алгоритмы программ, таблицы, эвристические и математические модели, т.е. математическое описание изучаемого объекта.

Важнейшим видом знакового моделирования является математическое моделирование, при котором исследование объекта осуществляется посредством модели, сформулированной на языке математики, и использованием тех или иных математических методов. Математика есть наука, позволяющая осуществлять построение и изучение абстрактных количественных моделей.

Средства математики позволяют создавать теории, охватывающие важнейшие физические, технические, биологические, экономические и другие процессы. Эти теории приводят к математическим схемам, которые можно рассматривать как математические модели этих процессов. Если физическое моделирование состоит в сопоставлении реальных объектов и процессов с их аналогами, имеющими сходную физическую структуру, то математическое моделирование сопоставляет реальные объекты и процессы с математическими объектами: переменными, векторами, матрицами, функциями, уравнениями и т.д. Математические модели можно разделить на аналитические, алгоритмические и комбинированные.

Для аналитического моделирования характерно то, что для описания процессов функционирования системы используются системы алгебраических, дифференциальных, интегральных или конечно-разностных уравнений.

Желая использовать аналитический метод, часто идут на существенные упрощения первоначальной модели, чтобы иметь возможность изучить хотя бы общие свойства системы. Аналитические модели бывают детерминированные и стохастические. Численный метод проведения аналитических расчетов с помощью датчиков случайных чисел получил название метода статистических испытаний, или метода Монте-Карло.

При алгоритмическом моделировании описывается процесс функционирования системы во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. Имитационные (алгоритмические) модели также могут быть детерминированными и стохастическими. В последнем случае в модели с помощью датчиков случайных чисел имитируется действие неопределенных и случайных факторов. Такой метод моделирования получил название метода статистического моделирования. В настоящее время этот метод считается наиболее эффективным методом исследования сложных систем, а часто и единственным практически доступным методом получения информации о поведении гипотетической системы на этапе ее проектирования.

Комбинированное моделирование позволяет объединить достоинства аналитического и алгоритмического моделирования. При построении комбинированных моделей производится предварительная декомпозиция процесса функционирования модели на составляющие подпроцессы. Для тех из них, где это возможно, используются аналитические модели, а для остальных процессов строятся алгоритмические модели.

Экономико-математическая модель – это выражение, состоящее из совокупности связанных между собой математическими зависимостями (формулами, уравнениями, неравенствами, логическими условиями) величин – факторов, все или часть которых имеют экономический смысл.

Критерий оптимальности – некоторый показатель, имеющий экономическое содержание, который является формализацией цели управления и выражается в виде целевой функции через факторы модели

Критерий оптимальности – это смысловое содержание целевой функции.

Система ограничений определяет пределы, которые ограничивают область допустимых решений и фиксируют основные внешние и внутренние свойства объекта. Ограничения определяют область протекания процесса, пределы изменения параметров и характеристик объекта.

Математическая формализация системы ограничений – уравнение связи представляется в виде системы уравнений и неравенств:

где - целевая функция; x_j – управляемые переменные, ; g_i – формализованное представление системы ограничений, ; b_i – некоторые действительные числа (ограничения по плану, ресурсам и др.).

Решение экономико-математической модели – это совокупность значений переменных, которая удовлетворяет системе ограничений (уравнениям связи). Оптимальным решением является такое, при котором функция цели достигает своего экстремального значения (min или max)

Модели экономических процессов чрезвычайно разнообразны по форме математических зависимостей.

Особенно важно выделить класс линейных моделей, наиболее удобных для анализа и вычислений. Различия методу линейными и нелинейными моделями существенны не только с математической точки зрения, но и в теоретико-экономическом отношении, поскольку многие зависимости в экономике носят принципиально нелинейный характер. По соотношению экзогенных (формируемых во внешней среде) и эндогенных (получаемых при моделировании системы) переменных, включаемых в модели, они могут подразделяться не открытые и закрытые.

По масштабу моделируемой системы различают модели производственно-экономических систем, модели региональных комплексов, отраслевые модели, модели народного хозяйства.

Так, примером народнохозяйственной модели может служить межотраслевой баланс народного хозяйства. К отраслевым относятся модели производства, потребления и распределения продукции отрасли. Региональными моделями являются межпродуктовые балансы отдельных экономических районов.

Для моделей народнохозяйственного уровня важно деление на агрегированные и детализированные.

В зависимости от того включают ли народнохозяйственные модели пространственные факторы или не включают, различают модели пространственные и точечные.

В соответствии с общей классификацией предмета моделирования модели подразделяются на функциональные и структурные, а также включают структурно-функциональные формы. В исследованиях на народнохозяйственном уровне чаще применяются структурные модели. Типичными структурными моделями являются модели межотраслевых связей. Функциональные модели широко применяются в экономическом регулировании. Примером может служить модель поведения потребителей в условиях товарно-денежных отношений.

Макроэкономические модели обычно описывают экономику страны как единое целое, связывая между собой укрупненные материальные и финансовые показатели: ВВП, потребление, инвестиции, инфляцию, занятость, ценообразование, процентную ставку, количество денег и пр.

Создание крупномасштабных математических моделей больших и очень больших (макроэкономических) систем: промышленных регионов, различных отраслей и экономики страны в целом, представляет собой сложную научную проблему, решение которой под силу лишь крупному научно-исследовательскому учреждению.

Модели, отображающие отдельные звенья или процессы экономики, называются микроэкономическими. Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих в экономике, либо их автономное поведение в переходной неустойчивой или стабильной рыночной среде, стратегии поведения фирм с использованием методов оптимизации, теории игр и т.п.

По периодам планирования различают модели перспективного (или стратегического) планирования, текущего и оперативно-календарного планирования.

Модели перспективного планирования разрабатываются на 5 лет и более, модели текущего планирования – на 1 – 2 года, модели оперативно-календарного планирования – на месяц или квартал.

По характеру используемых математических соотношений модели подразделяются на линейные и нелинейные. В линейных моделях все ограничения и функция цели описываются линейными соотношениями. В нелинейных – все или часть ограничений или функция цели – это нелинейные соотношения.

По степени достоверности и характеру отражения причинно-следственных связей модели делятся на детерминированные и стохастические. Детерминированные – это модели, в которых все ограничения и функция цели описываются с помощью детерминированных, т.е. неслучайных величин. Детерминированные модели предполагают жесткие функциональные связи между переменными модели. Стохастические (вероятностные) – это модели, в которых учитывается случайный характер протекающих экономических процессов. В стохастических моделях для описания случайных воздействий на исследуемые показатели используют инструментарий теории вероятностей и математической статистики. В таких моделях имеется неопределенность. В них целевая функция является числовой характеристикой случайной величины (например, математическим ожиданием).

В зависимости от постоянства или изменчивости процессов и способам отражения фактора времени различают статические и динамические модели. В статических моделях описывается состояние производственно-экономической системы, зафиксированное на конкретный момент или период времени; динамические модели включают взаимосвязи переменных во времени, описывая силы и взаимодействия процессов в экономике. В динамических моделях системы рассматриваются в своем развитии в течение нескольких периодов.

В статических моделях обычно зафиксированы значения ряда величин, являющихся переменными в динамике, – например, капитальных ресурсов, цен и т.п. динамическая модель не сводится к простой сумме ряда статических, а описывает силы и взаимодействия в экономике, определяющие ход процессов в ней. Динамические модели обычно используют аппарат дифференциальных и разностных уравнений, вариационного исчисления.

Для анализа сложных производственно-экономических систем используют имитационные исследования. Цель имитационного моделирования – воспроизведение поведения системы на основе анализа наиболее существенных взаимосвязей между ее элементами и описания их с помощью логико-математических соотношений. В результате использования таких моделей можно получить необходимую информацию о поведении системы в различных условиях, не обращаясь к натурным опытам, а путем экспериментов с моделью системы на ЭВМ.

Имитационное моделирование используется при решении практических задач организационного управления, возникающих в производственно-экономических системах, таких, как, например, совершенствование работы систем массового обслуживания, прогнозирование экономических процессов, управление запасами и т.п.

В отличие от имитационных моделей, которые представляют собой алгоритм, чаще всего реализуемый на ЭВМ, и отображающий действия объекта исследования в динамике, аналитические модели содержат расчетные формулы, системы уравнений, или функции для которых необходимо найти экстремальное значение.

Дескриптивные модели. Слово “дескриптивный” происходит от английского слова “description”, что означает “описание”. Экономико-математические модели, относящиеся к этому классу, предназначены для описания различных производственно-экономических процессов. Дескриптивные модели отвечают на вопрос: “Как это происходит?” или “Как это может дальше развиваться?”, т.е. они только объясняют наблюдаемые факты, используются для анализа пропорций прошлого периода или дают прогнозные оценки при экстраполяции полученных данных.

Дескриптивные модели только объясняют наблюдаемые факты или дают вероятностный прогноз. Применение дескриптивных моделей производственно-экономических систем и процессов объясняется необходимостью эмпирического выявления различных зависимостей в экономике, количественного анализа взаимодействия различных факторов, установления статистических закономерностей, изучения вероятных путей развития производственно-экономических процессов при различных условиях.

Равновесные модели описывают такие состояния рыночной экономики, когда результирующая всех сил, стремящихся вывести ее из данного состояния, равна нулю. Это предположение основывается на том, что экономическая система, являясь самоорганизующейся, всегда стремится попасть в стационарное состояние. Любые отклонения (в таких моделях они предполагаются малыми), вызванные флуктуациями параметров внешних факторов, со временем стабилизируются и поэтому считаются несущественными и не учитываются.

Примерами дескриптивных моделей являются некоторые виды производственных функций, функции потребительского спроса, модель межотраслевого баланса. Дескриптивные модели нужны для исследования результатов воздействия человека на различные системы и процессы. Проводя множество экспериментов на таких моделях, исследователь может выбрать наиболее приемлемый вариант построения системы или организации изучаемого процесса. Но для принятия оптимальных решений при управлении системой или процессом таких моделей может оказаться недостаточно. В этом случае используют оптимизационные модели. Они отвечают на вопрос: “Как это должно быть?”, т.е. предполагают целенаправленную деятельность.

Оптимизационные (нормативные) модели, представляющие нормативный подход в моделировании, связаны в основном с микроуровнем (максимизация полезности потребителем или прибыли фирмы), на макроуровне результатом рационального выбора поведения становится некоторое состояние равновесия. Нормативные модели это модели управляемых и регулируемых экономических процессов, используемые для преобразования экономической действительности. Они предполагают целенаправленную деятельность. Типичным примером нормативных моделей являются модели оптимального планирования, формализующие тем или иным способом цели экономического развития, возможности и средства их достижения.

Оптимизационные модели разделяются на два класса.

1. Задачи нахождения безусловного экстремума. Функция цели имеет вид: Необходимым (но не достаточным) условием существования экстремума непрерывной функции является равенство нулю всех ее частных первых производных

где х – управляемые переменные, а – неуправляемые факторы модели.

2. Задачи нахождения условного экстремума с ограничениями на область допустимых значений переменных управления Постановка задачи имеет вид:

где i - число ограничений, ; j – число переменных, ; m < n.

Численный метод поиска оптимального решения включает ряд повторяющихся этапов – итераций:

1) выбор начального значения переменных, соответствующих условиям – ограничениям модели и расчет функции цели;

2) выбор направления изменения переменных и шага приращения (или убывания);

3) определение нового значения переменных и функции цели;

4) сравнение полученного значения функции цели с предыдущим, и если при нахождении максимума полученное значение меньше предыдущего, то направление изменения приращения и шага переменных меняется. Оптимальное значение переменных считается найденным, если при любом направлении изменения переменных происходит ухудшение значения функции цели.

К оптимизационным задачам относятся задачи линейного программирования, которые позволяют, например, определить какую продукцию выгоднее всего выпускать из различных видов ресурсов, имеющихся в ограниченном количестве; как рациональным способом раскроить имеющийся запас материального сырья; как прикрепить потребителей к поставщикам; как разместить предприятия относительно сырьевых баз и потребителей; задачи сетевого планирования и управления, теории массового обслуживания, управления запасами, оперативного календарного планирования, задачи нелинейного и динамического программирования.

Такие модели имеют единственную целевую функцию. Но если преследуется сразу несколько целей, используют многокритериальные модели.

В случаях, когда теоретически возможно получение оптимального решения, но это требует больших вычислений и затрат времени, используют эвристические методы. Они основаны на интуитивных или эмпирически (из накопленного опыта) выбираемых правилах, которые позволяют получить приближенное решение поставленной задачи. Пример эвристического моделирования – использование экспертных методов в экономике. При отсутствии достаточно полной информации и надежных методов определения соответствия модели реальным системам, часто единственным методом решения производственно-экономических задач являются экспертные оценки.

Под информационной моделью понимается схема потоков информации, используемой в процессе управления, отображающая различные процедуры выполнения функций управления предприятием (организацией) и показывающая по каждой задаче связь входных и выходных документов и показателей.

Графические модели целесообразно использовать, если требуется обеспечить наглядное изображение исследуемого объекта или процесса. Различают следующие виды графических моделей:

1) графики, выражающие структуру и связи исследуемых систем (классификационные схемы, схемы организационных структур, схемы потоков информации, схемы рабочих процессов);

2) графики, выражающие расположение объектов и явлений во времени и в пространстве (контрольно-планировочные графики, маршрутные графики, хронограммы, планы расположения рабочих мест);

3) графики, выражающие количественные отношения, - диаграммы;

4) графики расчетного характера (номограммы, шкалограммы).

Экономико-математические модели. Долгое время задачи принятия решений в различных областях производственно-экономической деятельности во многом решались благодаря интуиции и опыту, т.е. искусству менеджера. Усложнение задач принятия решений и расширение круга лиц, принимающих ответственные решения привело к необходимости овладения принципами и методологией науки принятия решений. Научный подход к использованию задач принятия решений основан на следующем.

Необходимым условием является наличие достаточно мощной вычислительной техники, способной в короткое время перерабатывать значительные массивы информации. Причем решение задачи может осуществляться в машине, если задача будет точно сформулирована в понятных для машин терминах, по заранее отработанным методам, введенным в машину в форме программ. Поэтому умение составлять формализованные описания задач и наличие достаточно эффективных математических методов их численного анализа является другим необходимым условием научного подхода к проблемам принятия решений.

Математическая модель задачи представляет собой формальное описание основного содержания задачи. Процесс ее составления требует изучения сущности моделируемой проблемы, познаний в области математического аппарата, который предлагается использовать при численном анализе модели, а также возможностей вычислительной техники.

Общая схема составления моделей задач принятия решений состоит в следующем. Прежде всего, необходимо выделить набор параметров, которые описывают процесс принятия решения.

Далее следует на основании предварительного анализа моделируемого объекта выделить и четко сформулировать цель, ради достижения которой принимается то или иное решение. Как правило, целевую установку процесса принятия решения представляют в виде некоторой функции, зависящей от параметров управления, значения которой дают оценку качества принятого решения. Функцию эту принято называть целевой функцией или показателем качества ее решения.

Лицо, принимающее решение (ЛПР), стремится выбрать такой набор параметров управления, при котором целевая функция в зависимости от ее физического смысла примет либо как можно меньшее, либо как можно большее значение. Если, например, целевая функция выражает затраты, связанные с реализацией какого-либо проекта, то ее значение должно быть как можно меньшим, т.е. целевая функция будет минимизироваться. Если же целевая функция – это объем прибыли от реализации продукции, то такая функция будет максимизироваться. Значение целевой функции дает возможность сравнивать различные варианты решений и выбрать из них оптимальное решение.

Как правило, в задачах принятия решений не любой набор параметров управления может быть практически реализован. Так, если ЛПР стремится максимизировать выпуск некоторой продукции, то обычно, он бывает ограничен наличным запасом тех или иных ресурсов, необходимых для производства. Решение – набор параметров управления, при реализации которого каких-то ресурсов требуется больше наличного их запаса, не может быть осуществлено (предполагается, что пополнение ресурсных запасов исключено). Аналогичное положение возникает, если некоторые значения параметров управления несовместимы с их физическим смыслом. Например, параметр управления, характеризующий время течения некоторого процесса, нельзя полагать равным отрицательному числу – ведь время движется только вперед. Поэтому выбирать лучшее решение необходимо среди практически реализуемых, т.е. возможных решений. Выделение среди всех решений множества возможных решений производится с помощью выражения по возможности всех ограничительных факторов через параметры управления и требования, чтобы значения полученных функций – ограничений – находились в заранее заданных пределах.

Пример составления математической модели задачи планирования производства. Постановка задачи: допустим, что некоторое гипотетическое предприятие производит конечную продукцию одного вида. Для производства конечной продукции необходимы затраты ряда исходных ресурсов – трудовых, материальных, энергетических, временных, запасы которых ограничены. Производство осуществляется с помощью одного из технологических способов. Каждый из технологических способов производства характеризуется количеством конечной продукции, выпускаемой в единицу времени, и всех расходуемых при этом ресурсов. Задача состоит в определении такого плана использования различных технологических способов, при котором предприятие выпускало бы максимально возможное количество конечной продукции в пределах имеющихся запасов исходных ресурсов.

Формализация условия задачи – построение математической модели. Рассмотрим произвольный технологический способ производства, имеющий номер j. Количество конечной продукции, производимой по j-му технологическому способу в течение единицы времени, обозначим через C_j. Обозначим число j-х технологических способов производства через n . Обозначим число исходных i-х ресурсов, необходимых для производства конечной продукции через m . Пусть b_i – величина запаса i-го исходного ресурса, которым располагает предприятие. Обозначим через a_ij расход i-го исходного ресурса за единицу времени использования j-го технологического способа производства.

В качестве параметров управления в данной задаче примем время функционирования каждого из технологических способов производства. Положим X_j равным времени, в течение которого предприятие выпускает продукцию, используя j-й технологический способ производства.

Составление плана производства эквивалентно выбору (нахождению) конкретных значений для каждого из неизвестных пока параметров управления X_j . Целевой функцией в рассматриваемой задаче является выражение количества конечной продукции через параметры управления X_j , т.е. тот план производства считается лучше, при котором выпуск конечной продукции больше. Если C_j*X_j - это объем конечного продукта, произведенного j-м технологическим способом, то общий объем конечного продукта, выпущенного предприятием, который должен быть максимизирован, представляем в виде следующего выражения

. (1)

Определим множество допустимых планов функционирования предприятия. Для этого определим количество ресурсов, необходимых предприятию для выполнения плана. В течении X_j единиц времени предприятие работает, используя j-й технологический способ производства и, следовательно, расходует при этом a_ij*X_j единиц i-го ресурса. Полный расход всех i-х ресурсов, используемых при всех j-х технологических способах производства, определяется из выражения

. (2)

Поскольку запас i-го ресурса, которым располагает предприятие, равен b_i , то полный расход этого ресурса не превосходит величину его запасов.

Учитывая физическую сущность параметров управления (время исполнения технологических способов не может быть отрицательным), математическая постановка задачи должна быть дополнена условиями, не допускающими отрицательные значения параметров управления X_j

. (3)

Система неравенств (2) и (3), состоящая из m + n неравенств, является полной системой ограничений задачи и определяет множество допустимых планов.

Математическая модель рассматриваемой задачи планирования работы предприятия определяется соотношениями (1), (2), (3) и состоит в максимизации целевой функции (1) при соблюдении ограничений (2) и (3).

Целевая функция модели и левые части ее ограничений – неравенств линейно зависят от параметров управления. Такие модели называются задачами линейного программирования, а математические методы решения подобных задач – линейным программированием (одной из основных дисциплин, составляющих математический аппарат экономики).

Опыт создания моделей фирм в США, обобщенный Т.Нейлором, показывает, что разработка математических моделей даже для систем такого масштаба, как фирма, представляет сложную научно-исследовательскую проблему.

Во-первых, это проблема получения достоверной информации. Модель должна строиться на прочной эмпирической основе. Однако эта информация, как правило, недоступна для разработчиков экономических моделей. Руководство компаний просто не желает давать данные о деятельности своих предприятий посторонним лицам. Это особенно характерно для фирм, работающих в условиях сильной конкуренции.

Во-вторых, трудности построения адекватной численной модели фирмы связаны с тем, что такая модель должна опираться на глубокое знание реальных процессов принятия решений в организациях. Для этого надо хорошо ориентироваться в современном состоянии таких дисциплин, как теория принятия решений, теория организации, а также разбираться в вопросах психологии, социологии, политики, управления производством и экономики.

В-третьих, организация численных испытаний модели функционирования фирмы требует особого внимания к проблеме планирования эксперимента.

В итоге применение мощного аппарата алгоритмического моделирования оказывается неэффективным, так как в этих условиях традиционные аналитические методы дают не менее надежные результаты.

Назначение экономико-математических моделей. Экономико-математическое моделирование явлений и процессов, протекающих в производственно-экономических системах позволяет получить четкое представление об исследуемом объекте, охарактеризовать и количественно описать его внутреннюю структуру и внешние связи и поэтому является важным инструментом в принятии экономических, организационных и управленческих решений. Использование экономико-математических методов и моделей повышает эффективность управленческой деятельности за счет сокращения сроков анализа исходной производственно-экономической информации, более полного охвата факторов, влияющих на экономическое положение предприятия, замены приближенных или упрощенных расчетов точными вычислениями, постановки и решения многомерных задач управления производством, практически не выполнимых вручную или традиционными методами. Под термином модель понимают условный образ объекта исследования, который конструируется субъектом исследования так, чтобы отобразить существенные для цели управления свойства, взаимосвязи, структурные и функциональные параметры. Процесс моделирования включает предварительное изучение объекта исследования и выделение его существенных характеристик, конструирование модели, экспериментальный или теоретический анализ модели, сопоставление результатов с данными об объекте, корректировку модели, проведение экспериментов на модели и использование полученных знаний при управлении объектом.

Методы элементарной и высшей математики используются в традиционных экономических расчетах при обосновании потребности в ресурсах, учете затрат на производство, разработке планов, проектов, при балансовых расчетах. Факторный анализ изменения многих экономических показателей может быть проведен с помощью методов дифференцирования и интегрирования.

Методы классической математики включают математический анализ и теорию вероятностей. Эти методы целесообразно использовать при расчете параметров календарно-плановых нормативов, а также при решении задач оперативного регулирования хода производства.

Методы эконометрики основаны на сочетании таких областей знания, как экономика, математика и статистика. В основе эконометрики лежит экономическая модель, т.е. схематическое представление экономического явления или процесса с помощью научной абстракции, отражения их характерных черт. В современной экономике наибольшее распространение получил метод "затраты-выпуск", отличающийся чёткостью экономической интерпретации, позволяющий наиболее компактно представить взаимосвязь затрат и результатов производства в виде матричных балансовых моделей Леонтьева.

Методы эконометрики и математической статистики применяются в случаях, когда изменение анализируемых показателей можно описать как случайный процесс. Эти методы являются основным средством изучения массовых, повторяющихся явлений и используются в прогнозировании поведения экономических показателей. Статистические и вероятностные методы используют, когда связь между анализируемыми характеристиками не детерминированная, а стохастическая. Среди наиболее используемых математико-статистических методов в экономике для изучения одномерных статистических совокупностей можно назвать методы анализа вариационных рядов, законы распределения случайных величин, выборочный метод. При изучении многомерных статистических совокупностей используют дисперсионный, ковариационный, спектральный, компонентный, факторный и корреляционно-регрессионный виды анализа.

Методы исследования операций включают разработку методов целенаправленных действий в производственно-экономических системах, количественную оценку полученных решений и выбор из них наилучшего. Конечной целью является такое сочетание структурных взаимосвязанных элементов систем, которое в наибольшей степени отвечает задаче получения наилучшего экономического показателя из ряда возможных. Среди методов исследования операций можно выделить методы математического программирования, теории массового обслуживания, управления запасами, теории игр, теории расписаний, сетевые методы планирования и управления, модели износа и замены оборудования, теорию надежности производственных систем, имитационное моделирование.

Методы математического программирования используются для решения задач оптимизации планирования и управления производственно-экономической деятельностью, нахождения оптимального варианта транспортировки грузов между поставщиками и потребителями. Оптимальное программирование - это комплекс специальных методов, обеспечивающих в условиях множества возможных решений выбор такого, которое является наилучшим по заданному критерию при определенных ограничительных условиях. Модели математического программирования включают модели линейного (когда условия производства описываются системой линейных уравнений или неравенств), нелинейного, динамического программирования. Они предназначены для наилучшего распределения имеющихся в наличии ограниченных ресурсов (сырья, топлива, рабочей силы, времени, денежных средств), а также для составления соответствующих наилучших (оптимальных) планов действий, позволяющих минимизировать затраты или максимизировать получаемую предприятием прибыль. Эти методы позволяют оценить напряженность плановых заданий, определять лимитирующие группы оборудования, виды сырья и материалов, получать оценки дефицитности или избыточности производственных ресурсов и решать многие другие задачи, что является важным для экономического анализа выполнения бизнес-планов.

Линейное программирование используется в том случае, когда целевая функция и ограничительные условия выражены линейными зависимостями.

Если в системе содержатся случайные элементы, но зависимости между переменными линейные, то такая задача решается методами стохастического программирования.

Если при нахождении неизвестных переменных необходимо, чтобы одна из них или несколько принимали только целочисленные значения, то в этом случае необходимо использовать методы целочисленного программирования.

Методы нелинейного программирования используются тогда, когда зависимости методу переменными носят нелинейный характер. Универсального метода их реализации нет.

Выпуклое программирование направлено на решение нелинейных экстремальных задач, у которых выпуклы либо целевые функции, либо ограничительные условия.

Квадратичное программирование - это совокупность методов решения задач, в которых ограничительные условия линейны, а целевая функция является многочленом второй степени.

Методы динамического программирования могут применяться для решения таких оптимизационных задач, в которых необходимо рассматривать процесс производства или управления в пространстве или во времени. В их основу положен принцип оптимальности, сформулированный американским математиком Р Беллманом. Сам процесс поиска решения на базе рассматриваемых методов является многошаговым. Ограничительные условия примечания указанных методов: итоговый оптимум является суммой оптимальных решений каждого из выделенных шагов, а состояние системы в рассматриваемый момент времени определяет выбор оптимального решения.

Модели, содержащие большое число показателей, сложны в реализации, поэтому, если это возможно, их преобразуют в несколько моделей. Решать подобные задачи позволяют методы блочного программирования.

Для решения задач, которые не могут быть реализованы классическими методами математического программирования, используется комбинаторные методы.

Модели теории игр нацелены на обоснование, выбор и принятие оптимальных решений в условиях неопределенности (неполноты информации) и связанного с этим риска. Неопределенность обстановки вызывается возможными действиями нескольких конкурирующих сторон, имеющих различные интересы в конфликтных ситуациях. Такие модели могут найти применение при обосновании управленческих решений в условиях производственных конфликтов, при выборе линии поведения в отношении поставщиков, заказчиков, контрагентов и т.д. В играх с "природой" неопределенность обстановки вызывается объективными обстоятельствами, которые либо неизвестны (например, некоторые характеристики новых материалов, качества новой техники), либо носят случайный характер (состояние погоды, возможное время выхода из строя отдельных узлов изделия и т.п.).

Модели теории массового обслуживания на основе теории вероятностей позволяют дать количественную оценку процессов массового обслуживания в производственно-экономических объектах, т.к. любое из структурных подразделений предприятия можно представить как объект системы обслуживания. Вероятностные модели теории массового обслуживания рассматривают массовые повторяющиеся явления, например выход из строя оборудования. С помощью этого метода можно смоделировать и организацию ремонтного обслуживания и операции технического контроля качества и переналадки оборудования, определить необходимое количество обслуживающего персонала и погрузочно-разгрузочных устройств, требуемую площадь для складирования поступающих материалов и процессы переработки производственно-экономической информации в подразделениях предприятия. Задачи массового обслуживания посвящены изучению и анализу систем обслуживания с очередями заявок или требований и состоят в определении показателей эффективности работы систем, их оптимальных характеристик, например, в определении числа каналов обслуживания, времени обслуживания и т.п. Особенностью задач, связанных с массовым обслуживанием, является случайный характер исследуемых явлений. Количество требований на обслуживание и временные интервалы между их поступлением носят случайный характер, их нельзя предсказать с однозначной определенностью. Однако в своей совокупности множество таких требований подчиняется определенным статистическим закономерностям, количественное изучение которых и является предметом теории массового обслуживания.

Модели управления запасами состоят в отыскании оптимальных значений уровня запасов (точки заказа, страхового запаса), размера и периодичности заказа на пополнение запаса. Особенность таких задач заключается в том, что с увеличением уровня запасов, с одной стороны, увеличиваются затраты на их хранение, но с другой стороны, уменьшаются потери вследствие возможного дефицита запасаемого продукта.

Модели сетевого планирования и управления предназначены для планирования, подготовки и выполнения различных видов производственной деятельности, а также для управления этими мероприятиями в ходе их проведения. Это, например, календарные графики ведения разработок (проектов), технологических процессов производства продукции и сборки, ремонта (обслуживания).

Метод имитационного моделирования - это численный метод экспериментирования на ЭВМ с моделями, описывающими поведение сложной производственно-экономической системы в течении заданного периода времени. Имитация используется в случаях:

если еще нет законченной постановки задачи исследования и модель является средством изучения явления;

когда реальный объект недоступен для наблюдения, то имитация единственный способ исследования и проверки стратегии поведения;

имитация позволяет ускорить протекание процессов в модели по сравнению с реальными условиями и за короткое время "проиграть" множество вариантов;

при подготовке специалистов и освоении новой техники, имитации используют для приобретения необходимых навыков;

имеющиеся имитационные модели позволяют проверить различные варианты порядка запуска партий деталей, величины партий, количества партий, производственную структуру участков, приоритетность обработки, проведение операций технического контроля.

Методы экономической кибернетики позволяют моделировать и анализировать производственно-экономические явления и процессы, рассматривая их с точки зрения законов и механизмов управления и движения информации в больших сложных системах на основе системного подхода и системного анализа.

Методы эмпирического поиска оптимальных условий протекания производственно-экономических процессов основываются на использовании человеческого опыта и интуиции. Эвристические методы - это неформализованные методы решения производственно-экономических задач на основе интуиции, прошлого опыта, экспертных оценок специалистов и т.д.

В ряде случаев приходится находить решение экстремальных задач при неполном знании механизма рассматриваемого явления. Такое решение отыскивается экспериментально. К экстремальным моделям относятся такие, которые позволяют отыскать экстремум функций или функционала. Это модели, построенные с помощью графических методов, метода Ньютона и его модификаций, методом вариационного исчисления, принцип максимума Понтрягина и др. Математическая теория оптимальных процессов включает отыскание максимума Понтрягина для управления технико-экономическими процессами и максимума Понтрягина для управления ресурсами. Эти модели применяются в основном для решения задач оперативного регулирования.

Методы математической статистики используются для нахождения и раскрытия свойственных большим совокупностям однородных объектов закономерностей. Математическая статистика включает корреляционный, регрессионный, дисперсионный, факторный анализ.

Модели прогнозирования основаны на математических методах наименьших квадратов, корреляционно-регрессионного анализа, либо на методах экспертных оценок.

Корреляционно-регрессионный анализ используется также для определения некоторых показателей (например, себестоимости) новых изделий параметрическим методом на основе собранных данных по изделиям-аналогам.

Модели планирования основаны на математическом программировании. Целевая функция этих моделей предусматривает максимизацию критерия эффективности производственной деятельности (например, размера дохода и прибыли) исходя из наличных мощностей и отпускаемых ресурсов, либо минимизацию расхода ресурсов в рамках указанного критерия эффективности. Здесь решаются задачи распределения производственной программы по календарным периодам, оптимальной загрузки оборудования.

Модели оперативного управления включают расчёт оптимального объема партий изделий и оптимального графика запуска-выпуска партий деталей - календарное планирование. Модели календарного планирования могут быть статистические, имитационные, эвристические, - когда невозможно создание строгих алгоритмов, но необходимо использовать информацию, не имеющую количественного выражения.

Модели материально-технического снабжения используют аппарат математического программирования, теории массового обслуживания или теории управления запасами. При этом могут быть построены модели с фиксированным размером заказа и с фиксированным уровнем запасов.

Моделирование технической подготовки производства использует сетевые модели и методы математического программирования для определения минимального срока или стоимости выполнения комплекса работ при ограничениях на ресурсы. Здесь может решаться задача определения потребности в инструменте, оптимальной планировки участка.

Модели организационных структур управления в значительной части эвристического характера. Применим здесь и аппарат теории массового обслуживания, и имитационное моделирование.

Модели микро- и макроэкономики включают балансовые модели, идея которых - рациональное функционирование системы, когда затраты компенсируются доходами. Это балансы, как на уровне национальной экономики, так и на уровне региона, города, предприятия. Модель позволяет проанализировать структуру производственных (продуктовых) связей, изменение её при необходимости корректировки объёмов конечного продукта или внутрипроизводственного потребления. Также это модели, описывающие поведение потребителей с помощью функции спроса и поведение предприятий-производителей с помощью функции предложения. Достижение соответствия спроса и предложения, установления равновесных рыночных цен, определение объёма торговых операций (сделок). Процессы рыночного механизма регулирования с построением графической паутинообразной модели, отражающей соотношение спроса и предложения и временные запаздывания сегодняшних предложений относительно цен прошлого периода и соотношения со спросом, диктуемым сегодняшними ценами.

Все экономико-математические методы подразделяются на оптимизационные, если метод позволяет искать решение по заданному критерию оптимальности и дескриптивные, когда поиск решения ведется без критерия оптимальности. Если метод позволяет получить только единственное решение, то он относится к группе точных методов, а в случае, если при поиске решения используется стохастическая информация и решение задачи можно получить с любой степенью точности, метод относят к группе приближенных. К группе приближенных методов относят и такие, при использовании которых не гарантируется получение единственного решения по заданному критерию оптимальности.