18.2. Основные понятия мкэ

Монолитная среда нагруженной детали, конструкции или объем деформируемого при штамповке металла разделяется воображаемыми линиями, которые можно рассматривать как стержневые системы (рис. 85).

Рассмотрим силовое нагружение простейшей стержневой системы. Рис. 85. Схема нагружения стержневой системы

Составим условия равновесия для узла 1:

(128)

Данную систему уравнений можно представить в маричной форме:

(129)

где

A= - матрица уравнений равновесия;

- вектор внутренних сил;

- вектор внешних сил (с целью удоб-

ства записи представлен в транспонированной форме).

Рассмотрим аналогичную стержневую систему в деформированном от внешних усилий состоянии (рис. 86) , где показаны деформации системы при смещении узла 1 на U и V .

Рис. 86. Деформации стержневой системы

Стержневая система, соединенная в узлах, должна оставаться соединенной в этих же узлах, и после деформации. Уравнения, выражающие это положение, называются уравнениями совместности:

(130)

или

(131)

или

, (132)

где - матрица уравнений совмест-

ности;

 вектор перемещений;

- вектор деформаций.

Из теории матричного исчисления известно, что матрицей, транспонированной по отношению к матрице А, называется матрица А ^Т, столбцами которой являются строки матрицы А, т.е.

. (133)

В строительной механике данное соотношение доказывается исходя из того принципа, что на основании закона сохранения энергии работа внешних сил А_p переходит в потенциальную энергию деформации П:

(134)

или

(135)

Выражая из (129) вектор , а из (132) вектор получим (133) . Таким образом, матрицы уравнений равновесия и уравнений совместности являются взаимно транспонированными.

Если нагружение рассматривать в зоне упругой деформации, то можно составить физические уравнения, устанавливающие связь между усилиями и деформациями в соответствии с законом Гука для стержневых систем.

, (136)

где ;

- удлинение j-го стержня;

- угол поворота сечения j-го стержня в его начале;

- угол поворота сечения j-го стержня в его конце;

Е – модуль упругости материала стержня;

F_j – площадь поперечного сечения j-го стержня;

J_j – момент инерции сечения j-го стержня;

M_hj, M_kj – моменты, действующие в начале и в конце

стержня.

Соотношение (136) справедливо для одного стержня.

Придавая индексу j значение j=1, 2, 3, …, m, то получим соотношение Гука для всей стержневой сиcтемы и которое в матричной форме имеет вид:

, (137)

где матрица В называется матрицей податливости и имеет квазидиагональную структуру:

(138)

где b j – блоки (см. форм. 136).

Таким образом, получена система уравнений:

(139)

Используя граничные условия, которые могут быть заданы перемещениями (кинематические) или напряжениями (статические), методом последовательного исключения система уравнений может быть решена, т.е. определены усилия в стержнях.