1.4. Работа электрических сил при перемещении заряда в поле

Определим работу А, которая совершается силой F электростатического поля неподвижного, например, положительного точечного заряда q над положительным пробным зарядом q , перемещающимся в этом поле, напряженность которого Е, из точки 1, положение которой по отношению к заряду q определяется радиус-вектором r₁, в точку 2, положение которой определяется радиус-вектором r₂ (рис. 5).

Рис. 5

В общем случае, независимо от того, что является причиной движения пробного заряда от точки 1 до точки 2 по траектории, длина которой равна L, элементарная работа, совершаемая силой F на отрезке пути dL, по определению, равна

dA = (F, dL) = F∙ dL cosα = q ∙ E ∙ dL cosα = q ∙ E ∙ dr =

= q ∙ ∙ dr,

где Е = F / q – напряженность электростатического поля в данной точке пространства, положение пробного заряда q в которой определяется радиус-вектором r; так как в нашем случае на движущийся пробный заряд действует электростатическая сила отталкивания, то угол α – это угол между вектором силы F ( или Е, так как векторы F и Е направлены в одну сторону) и элементарным перемещением пробного заряда dL; dr = dL · cosα – приращение радиуса-вектора r.

Из полученного соотношения для элементарной работы получается:

dA = q ∙ E ∙ dr = F∙ dr

откуда следует, что работа производится только на участке dr вдоль действия силы F. Полная работа электрических сил поля на протяжении всего пути от точки 1 до точки 2 равна:

А = = = = - ( ),

Работа A не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной и конечной точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы — консервативными.

Таким образом, работа перемещения заряда в электростатическом поле по любому замкнутому контуру L равна нулю:

Если переносимый заряд единичный, то элемен­тарная работа сил поля на пути dL равна ЕdL. Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности по заданному замкнутому контуру L.

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля:

циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

Силовое поле, обладающее таким свойством, называется потенциальным. Эта формула справедлива только для электрического поля неподвижных зарядов (электростатического поля).

Потенциальная энергия заряда

В потенциальном поле тела обладают потенциальной энергией и работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии.

Поэтому, работу А можно представить как разность потенциальных энергий заряда q_пр в начальной и конечной точках поля заряда q:

.

Потенциальная энергия заряда q_пр, находящегося в поле заряда q на расстоянии r от него равна

Считая, что при удалении заряда на бесконечность, потенциальная энергия обращается в нуль, получаем: const = 0.

Для одноименных зарядов потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна, для разноименных зарядов потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Если поле создается системой n точечных зарядов, то потенциальная энергия заряда q_пр, находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий, взаимодействия со всеми зарядами: