- •Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
- •Введение
- •Основные понятия
- •1.1. Структура сау
- •1.2. Классификация сау
- •Программы и законы управления
- •1.4. Основные элементы автоматики
- •Статические характеристики элементов сау
- •1.6. Динамические характеристики элементов
- •Линейные динамические звенья сау
- •2.1. Основные характеристики лдз
- •2.2. Временные и частотные характеристики
- •2.3. Основные типы лдз
- •2.4. Способы соединения звеньев сау
- •3. Устойчивость линейных систем
- •Понятие устойчивости
- •3.2. Математическая постановка задачи
- •Оценка устойчивости сау по корням
- •3.3. Алгебраический критерий устойчивости
- •3.4. Частотные критерии устойчивости сау
- •4. ЦИфровые системы автоматики
- •4.1. Определение дискретной системы.
- •4.2. Методы математического описания
- •Разностные уравнения вход-выход.
- •2)Описание линейной системы при помощи взвешенной временной последовательности
- •3)Описание линейной системы при помощи разностных уравнений в переменных системах.
- •4.3. Прохождение непрерывного сигнала через
- •4.5. Некоторые свойства z-преобразования
- •Теорема о начальном значении
- •Теорема о конечном значении
- •Образуем функцию f(kr-r), запаздывающую относительно f (кr ) на r . Если
- •Синтез дискретных систем
- •4.8. Простейшие дискретные линейные системы и цифровые фильтры
- •Синтез дискретной сар на основе аналогового прототипа
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
4.5. Некоторые свойства z-преобразования
Z–преобразование обладает рядом свойств, позволяющих анализировать особенности ДЛС. Приведем лишь теоремы о начальном и конечном значениях.
Теорема о начальном значении
Предположим, что задано Z – преобразование F(Z) и требуется определить начальные значения f(0) последовательности.
По определению
(4.32)
Этот ряд сходится при всех , поэтому при всех
Теорема о конечном значении
Ограничим последовательность f (кг ), положив К = N, где N– достаточно большое число.
Образуем функцию f(kr-r), запаздывающую относительно f (кr ) на r . Если
, (4.33)
то Z – преобразование для fn (кг) будет
(4.34)
Найдем разность FN (Z) и FN-1(Z) при Z = 1;
2
Пусть , тогда
(4.35)
Формула (4.35) устанавливает связь между Z - преобразованием и конечным значением функции.
4.6. Z-передаточная функция дискретной системы
Разностные уравнения вход-выход имеют вид:
(4.36)
Число y(k)характеризует выход в момент кr (шаг дискретизации r обычно опускают). Числа y(k-1), y(k-2) характеризуют предыдущее значение выхода, запоминаемые в памяти ЭВМ.
Аналогично числа и U(k), и U(k-1)характеризуют вход в дискретные моменты k, k-1, … и т.д., они также хранятся в памяти машины.
Уравнение (4.36) называют рекурсивным или разностным, позволяющим вычислить каждое последующее значение выхода по предыдущим данным.
Положим в (4.36)
, (4.37)
где
- дельта – последовательность Кронекера
( -импульс – одиночный). Подставляя (4.36) в (4.35), получим реакцию системы, которую обозначим через K(k):
(4.38)
Взвешенную временную последовательность (4.38) называют весовой (рис. 4. 11)
Если импульс воздействует на вход не при k = 0, а в произвольный момент (в j – той позиции ), то реакция системы
Рис. 4. 11
в k – той позиции будет (для k ≥ j )
, (4.39)
где - коэффициент для входного воздействия
В общем случае, когда входная последовательность представляет сумму (поток) дельта последовательностей, приложенных в моменты k= 0, 1, 2, …, то есть,
временную последовательность на основании принципа суперпозиции на выходе можно определить как
(4.40)
или, после замены переменных m = k – j
(4.41)
Выражение (4.41) – аналог интеграла свертки для непрерывных систем. Воспользуемся (4.9) в самом общем виде: , (4.42)
где К(k) – взвешенная временная последовательность, g(m) – дискретизированный входной сигнал.
Взяв Z – преобразование от (4.42), получим
;
или (для правой части (4.11)):
(4.43)
С
(4.44)
(4.45)
W(Z) называют Z – передаточной функцией дискретной системы. Через Y(Z) и G(Z) обозначены Z–преобразования последовательностей y(nr) и g(nr), то есть, выходной и входной последовательностей.
Пример Z – передаточной функции. Пусть необходимо определить W(Z), соответствующую s – передаточной функции:
(4.46)
Посмотрим вначале – какой непрерывной системе соответствует s - передаточная функция (1.46).
Взяв обратное преобразование Лапласа от W(s), получим
(4.47)
где K(t) – импульсная переходная функция, или функция веса, то есть, реакция системы на единичный - импульс (t). Далее от (4.47) перейдем к дискретной весовой временной последовательности согласно правилу:
(4.48)
то есть,
(4.49)
Z – преобразование этой последовательности и будет представлять Z - передаточную функцию, соответствующую s – передаточной функции непрерывной системы (4.46):
, (4.50)
Описанный здесь способ получения Z – преобразования по s – преобразованию Лапласа позволяет осуществлять синтез дискретных систем по известным характеристикам исходных аналоговых систем.