- •Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
- •Введение
- •Основные понятия
- •1.1. Структура сау
- •1.2. Классификация сау
- •Программы и законы управления
- •1.4. Основные элементы автоматики
- •Статические характеристики элементов сау
- •1.6. Динамические характеристики элементов
- •Линейные динамические звенья сау
- •2.1. Основные характеристики лдз
- •2.2. Временные и частотные характеристики
- •2.3. Основные типы лдз
- •2.4. Способы соединения звеньев сау
- •3. Устойчивость линейных систем
- •Понятие устойчивости
- •3.2. Математическая постановка задачи
- •Оценка устойчивости сау по корням
- •3.3. Алгебраический критерий устойчивости
- •3.4. Частотные критерии устойчивости сау
- •4. ЦИфровые системы автоматики
- •4.1. Определение дискретной системы.
- •4.2. Методы математического описания
- •Разностные уравнения вход-выход.
- •2)Описание линейной системы при помощи взвешенной временной последовательности
- •3)Описание линейной системы при помощи разностных уравнений в переменных системах.
- •4.3. Прохождение непрерывного сигнала через
- •4.5. Некоторые свойства z-преобразования
- •Теорема о начальном значении
- •Теорема о конечном значении
- •Образуем функцию f(kr-r), запаздывающую относительно f (кr ) на r . Если
- •Синтез дискретных систем
- •4.8. Простейшие дискретные линейные системы и цифровые фильтры
- •Синтез дискретной сар на основе аналогового прототипа
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
4. ЦИфровые системы автоматики
4.1. Определение дискретной системы.
Разностные уравнения
Входные и выходные сигналы непрерывных систем являются функциями непрерывного времени t.
Если независимая переменная t принимает только конечное множество значений , то сигнал называется дискретным. Формирование дискретного сигнала можно представить себе следующим образом (рис.4.1).
g(t)
Рис.
4.1
Пусть имеется ключ Кл (рис. 4.1), который включается на очень короткий промежуток времени . Если на вход такого ключа подать непрерывный сигнал g(t), то на его выходе образуется последовательность импульсов g*(t).
Причём величена (амплитуда) каждого из импульсов, будет равна амплитуде непрерывного сигнала в дискретные моменты . В дальнейшем принимают, что интервал , (называемый интервалом или шагом дискретизации по времени) является постоянным =const. Поэтому для интервала наблюдения имеем:
;
где К – целое число.
Ключ по существу является импульсным амплитудным модулятором непрерывного сигнала и называется импульсным элементом. Известно, что непрерывные системы описываются дифференциальными уравнениями, а дискретные – разностными уравнениями.
Понятие разностного уравнения поясним на следующем примере. Предположим, что нам необходимо вычислить интеграл:
(4.1)
Предположим, что подынтегральная функция не интегрируемая в замкнутом контуре. Тогда обычный прием интегрирования заключается в том, что функция u(t) апроксимируется кусочно-постоянной функцией (t) (рис. 4.2), причём
,
(4.2)
Формула (4.2) требует запоминания всех прежних значений сигнала для того, чтобы определить значение интеграла в данный момент . Гораздо более простой способ состоит в том, что вначале находят:
, (4.3)
а затем вычисляют выражение для разности (4.2) и (4.3):
(4.4)
или
(4.5)
Согласно (4.5), необходимо запомнить только предыдущее значение интеграла и его значение в данный момент времени, чтобы определить значение интеграла в последующий момент .
Выражение (4.5) является разностным уравнением 1-го порядка.
Алгоритм его решения заключается в следующем:
1) запоминается начальное условие: y(0)=0 – начальная сумма;
2) формулу (4.5) применяют последовательно для значений к = 0, 1, 2, …, то есть:
…………….
На каждом шаге этого итерационного процесса каждое последующее значение выхода вычисляют сложением его предыдущего значения c предыдущем значением выхода , умноженным на .
В общем случае линейное разностное уравнение имеет вид:
(4.6)
Для того, чтобы при помощи этой формулы вычислить , необходимо запомнить предыдущие значения выхода
и входа ,
а затем выполнить указанные действия умножения и сложения.