Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 800292

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

1.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

В итоге получаем
		256								m 2p 1, n 2q 1, p, q ,
									,
									,
amn	(2p 1)3(2q 1)3 6
						0 ,				m 2p 1, n 2q 1, p, q .

Далее, так как F(x,y) 0, имеем
				1				2		1	m
								2		1
	bmn						0 sin					x sin n y dx dy 0 ,
											2
				m	2
			2		2	n2		0		0
			2			n2		0		0
				4

и в итоге получаем искомое решение u(x,y,t) задачи в виде двойного тригонометрического ряда Фурье:

		256 cos 4 t		(2p 1)2	(2q 1)2
u(x,y,t)				4
		(2p 1)3(2q 1)3 6
p 1 q 1
sin	(2p 1) x		sin(2q 1) y.
	2

Замечание. Так как полученное решение зависит от трех переменных x, y и t , то его график, естественно, построить не

является возможным.

ГЛАВА 4. ДВУМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА

Уравнением	Лапласа	называется уравнение, которое в
прямоугольной декартовой системе координат имеет вид
	2u	2u		2u	0		(4.1)
	x2	y2		z 2

Это уравнение часто встречается в приложениях.
Для определенности будем считать,						что функция u u(x, y, z) ,
удовлетворяющая	(4.1),	представляет				собой	стационарное
			40

(x,y,z)

распределение температуры в		теле (	u	0	в уравнении

			t
теплопроводности).	Функция	u u(x,y,z),			удовлетворяющая

уравнению Лапласа (4.1) в некоторой области, называется

гармонической в этой области.

Уравнение Лапласа имеет бесчисленное множество решений. Для выделения конкретного решения необходимо задать некоторые дополнительные условия на границе.

Основные краевые задачи, называемые задачей Дирихле и

задачей Неймана, ставятся следующим образом.
Задача Дирихле. Требуется найти функцию					u u(x,y,z),
удовлетворяющую уравнению Лапласа (4.1) внутри					объема V и
принимающую в каждой точке				М поверхности , ограничивающей
этот объем, заданные значения:
Задача Неймана.	u	(M).			(4.2)
					(4.2)

	Требуется найти гармоническую в области V
функцию u u(x,y,z),	для которой на границе				области V
выполнено условие			u
				(M).	(4.3)

			n

Здесь n ‒ нормаль к в точке М этой поверхности (если u‒

температура, то величина u пропорциональна тепловому потоку в

каждой точке поверхности).

Смешанная задача. На одной части поверхности задано условие типа (4.2), а на другой – условие типа (4.3).

Часто при решении конкретных задач удобнее использовать другие независимые переменные. Выведем уравнение Лапласа в цилиндрических (r, ,z) координатах, связанных с декартовыми

соотношениями

или	x rcos ,		y rsin ,			z z	(4.4)
или				y
		arctg			,
r	x2 y2 ,					z z.	(4.5)
r	x2 y2 ,					z z.	(4.5)
				x
		41

Заменяя независимые переменные (x,y,z) на (r, ,z), придем к новой функции u(r, ,z).

Запишем для нее уравнение Лапласа. Имеем

2ux2

u r

u x

r r

r x

sin

cos

;

2u sin

sin

cos

sin

x x

sin

u sin

sin

cos

sin cos

cos

u sin2

2u sin2

cos

r r

sin cos

cos sin .

Аналогично найдем

sin

u cos2

cos2

sin cos

cos sin .

Подставляя полученные выражения для вторых частных производных в уравнение Лапласа, получим

1 u

1 2u

(4.6)

r r

Это и есть уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.

4.1. Решение задачи Дирихле для двумерного уравнения Лапласа на прямоугольнике

Задачей Дирихле для двумерного уравнения Лапласа на прямоугольнике называется задача о нахождении решения уравнения

(4.7):

uxx(x, y) uyy(x, y) 0	(0 x l1, 0 y l2),	(4.7)
удовлетворяющего граничным условиям
u(0, y) f(y),	u(l1, y) F(y),	(4.8)
u(x, 0) g(x),	u(x, l2) G(x),	(4.9)

где g(x) и G(x) есть заданные функции от x, непрерывные на отрезке

[0, l1], а f(y) и F(y) – заданные функции от y, непрерывные на

отрезке [0, l2].

Задача Дирихле является классической граничной задачей. Рассмотрим сначала решение уравнения (4.7) при граничных условиях:

u(0, y) 0,	u(l1, y) 0,	(4.10)
u(x, 0) g(x),	u(x, l2) G(x).	(4.11)

Согласно методу Фурье, решение задачи будем искать в виде

u(x,y) X(x) Y (y).

(4.12)

Подставив данное выражение в уравнение (4.7) и граничные условия

(4.10), получим:

X		Y
	(x)		(y)	k2,	(4.13)
X(x)
		Y (y)
	X(0) 0,		X(l1) 0,		(4.8)

где k const.

Решая граничную задачу

(4.14)

(x) k

X(x) 0,

X(0) 0,

X(l1) 0,

(4.15)

найдем, как и ранее,

n 1,2,3,...

n x

Xn(x) Dn sin

При k kn

из выражения

(4.13) получим уравнение для

определения Y (y):

(y) 0.

(y)

Общее решение этого уравнения имеет вид

(y) C

n y

где C1n , C2n ‒

произвольные постоянные.

В силу равенства (4.12) функция будет иметь вид

n y

n x

(x,y) a

b sh

sin

где an C1n Dn , bn C2n Dn , является решением уравнения (4.7),

удовлетворяющим граничным условиям (4.10).

В силу линейности и однородности уравнения Лапласа сумма этих решений будет также решением уравнения (4.7), удовлетворяющим условиям (4.10):

	n y	n y			n x
u(x,y) anch		bnsh		sin		.	(4.17)
	l		l
n 1					l
	1	1			1

Подберем теперь коэффициенты an и bn так, чтобы выполнялись граничные условия (4.11). Полагая в (4.17) сначала y 0, затем y l2, получим:

n x

g(x) an sin

n 1

n l2

n x

G(x) anch

bnsh

sin

n 1

Отсюда видно, что a				n l2		n l2
	и a		ch		b sh		есть коэффициенты
				l		l
n		n			n
			1			1

разложения функций g(x) и G(x) в ряды Фурье по синусам на

промежутке (0, l1), и,

следовательно,

они должны определяться по

формулам:

n x

g(x)sin

dx ,

n l2

2 l1

n x

b sh

G(x)sin

dx ,

или

n x

g(x)sin

dx ,

(4.18)

2 l1

n x

n l2

G(x)sin

dx a

(4.19)

n l

Таким образом, ряд (4.17) с коэффициентами, определяемыми по формулам (4.18), (4.19), будет решением поставленной задачи.

Замечание. Решение уравнения Лапласа (4.7), удовлетворяющее граничным условиям:


u(x, 0) 0,	u(x, l2) 0,		(4.20)
u(0,y) f (y),		u(l1,у) F(y),	(4.21)

можно записать сразу, поменяв в предыдущей задаче местами x и y:

											n x							n x					n y
u(x,y) Anch														Bnsh							sin						,		(4.22)
u(x,y) Anch												l		Bnsh					l		sin			l			,		(4.22)
				n 1								l	2						l	2				l	2
где				n 1									2							2					2
где															n y
										2		l2			n y
					An					2		f(y)sin								dy,									(4.23)
					An							f(y)sin					l			dy,									(4.23)
									l		2	0					l	2
											2	0						2
		1					2			l2				n y										n l
B		1					2					F(y)sin							dy A							1		.	(4.24)
																							ch
			n l																				ch		l
	n		n l			l		2								l	2					n			l	2
			sh		1			2	0								2									2
			sh	l2
				l2

Из вышесказанного следует, что решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа на прямоугольнике:

uxx(x, y) uyy(x, y) 0	(0 x l1, 0 y l2),
u(0, y) f(y),	u(l1, y) F(y),
u(x, 0) g(x),	u(x, l2) G(x),

следует искать в виде суммы двух функций:

u(x,y) v(x,y) w(x,y);

n y

n x

v(x,y) anch

bnsh

sin

n 1

n x

g(x)sin

dx,

2 l1

n x

n l2

G(x)sin

dx a

;

n l

n x

n y

w(x,y)

Anch

Bnsh

sin

n 1

n y

f(y)sin

dy,

n y

n l

F(y)sin

dy A

n l

4.2. Пример решения типовой задачи

Пример 4.1. Найдите решение задачи Дирихле

u	(x, y) u		(x, y) 0	(0 x 2, 0 y 1),
xx		yy	u(x, 1) 0,5x2 0,5x,
u(x, 0) 0,			u(x, 1) 0,5x2 0,5x,

u(0, y) 0,			u(2, y) 2y2	y.

Решение. Для решения задачи воспользуемся приведенными выше формулами. В поставленной задаче

l1 2,	l2 1;
47

f(y) 0, F(y) 2y2 y, g(x) 0, G(x) 0,5x2 0,5x.

Тогда

																									n y											n y										n x
									v(x,y) anch																n y						bnsh					n y						sin				n x					.
									v(x,y) anch																						bnsh											sin									.
																	n 1								2								2												2
	Воспользовавшись приведенными выше формулами, найдём
значения an									и			bn :																		n x
																				2		2								n x
																an				2		0 sin													dx 0;
																an						0 sin													dx 0;
																			2			0					2
										1					2																		n x																	n
			bn							1					(0,5x2								0,5x)sin															dx 0 ch
			bn							n					(0,5x2								0,5x)sin										2					dx 0 ch												2
										n																							2																	2
								sh							0
								sh				2
												2
				1						2														n x									1																				n x	2
										2																																												2
											(x2 x) dcos																																(x2 x)cos
						n					(x2 x) dcos																																(x2 x)cos
		n sh				n				0															2								n sh						n													2		0
		n sh					2			0				2																			n sh							2														0
							2																																	2
							1												n x																				6
							1								cos				n x				d(x2				x)												6								cosn
											n				cos				2				d(x2				x)																				cosn
											n								2																								n
					n sh									0																						n sh
					n sh							2		0																						n sh									2
												2		2																															2
							1							2												n x													6
							1							(2x 1)cos												n x				dx									6									cosn
											n			(2x 1)cos																dx																		cosn
				n sh							n			0											2												n		sh						n
				n sh						2				0											2												n		sh						2
										2																																			2
																			2																						n x
																			2						(2x 1) dsin																n x
																					n				(2x 1) dsin
															n	2		2			n																		2
																			sh						0
																			sh			2			0																								2
																						2
										6 ( 1)n 1

																									2							(2x 1)sin												n x
																n													n			(2x 1)sin
										n sh						n				n2 2 sh									n																2				0
										n sh										n2 2 sh																									2				0
							2									2											2
			2				2						n x														6 ( 1)n 1
			2						sin				n x				d(2x 1)										6 ( 1)n 1
				n					sin								d(2x 1)																	n
	2	2		n										2																				n
n			sh					0																				n sh
n			sh	2				0																				n sh
				2																													2
																									48

n x

6 ( 1)n 1

sin

cos

n x

n sh

6 ( 1)n 1

8 ( 1)n

( 1)n(8 6n2 2) 8

n sh

n3 3 sh

Тогда получим

(8 6n

) 8

n y

n x

v(x,y)

( 1)

sin

n 1

n3 3 sh

Далее,

Anchn x Bnshn x sinn y ,

w(x,y)

ианалогично воспользовавшись полученными формулами, найдём

An и Bn , используя метод интегрирования по частям:

An 2 0 sinn y dy 0;

		1					1	2
	Bn					2 (2y			y)sinn y dy		0 ch2n
	Bn			sh2n		2 (2y			y)sinn y dy		0 ch2n
				sh2n			0
							0
2		1								2						1
			(2y2		y)dcosn y								(2y2	y)cosn y		1

																0
n sh2n		0								n sh2n
		2			1						6
		2			cosn y d(2y2 y)						6				cosn
					cosn y d(2y2 y)										cosn
n sh2n					0					n sh2n
			2				1					6 ( 1)n 1
			2				(4y 1)cosn y dy					6 ( 1)n 1
		n sh2n					(4y 1)cosn y dy				n sh2n
		n sh2n					0				n sh2n

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20221.33 Mб4Учебное пособие 800288.pdf
#
01.05.20221.34 Mб2Учебное пособие 800289.pdf
#
01.05.2022316.82 Кб2Учебное пособие 80029.pdf
#
01.05.20221.34 Mб9Учебное пособие 800290.pdf
#
01.05.20221.35 Mб5Учебное пособие 800291.pdf
#
01.05.20221.35 Mб7Учебное пособие 800292.pdf
#
01.05.20221.35 Mб51Учебное пособие 800293.pdf
#
01.05.20221.35 Mб8Учебное пособие 800294.pdf
#
01.05.20221.35 Mб1Учебное пособие 800295.pdf
#
01.05.20221.36 Mб1Учебное пособие 800296.pdf
#
01.05.20221.37 Mб8Учебное пособие 800297.pdf