Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 800292

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

1.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Решая уравнения (2.14), (2.16), находим:

					1			1			x				C
	1(x)				1	f(x)		1			F(z) dz				C				,
	1(x)				2	f(x)		2a			F(z) dz								,
					2			2a			0				2							(2.17)
											0											(2.17)
					1			1			x				C
	2(x)					f(x)					F		(z) dz								.
	2(x)				2	f(x)		2a			F		(z) dz								.
					2			2a			0				2
Заменяя в (2.17) везде в функции 1													аргумент на									x at, а в 2 –
на x at , получаем:
		1							1		x ct					C
1(x at)		1	f(x at)						1			F(z) dz				C		,
1(x at)		2	f(x at)						2a			F(z) dz						,
		2							2a		0				2							(2.18)
		1						1			x ct						C					(2.18)
		1						1			x ct						C
2(x at)				f	(x		at)						F(z) dz							.
2(x at)		2		f	(x		at)			2a			F(z) dz		2					.
		2								2a	0				2
Подставив (2.18) в (2.12), получим окончательную формулу:
	f(x at) f(x at)										1			x at
u(x, t)	f(x at) f(x at)										1			F(z) dz.								(2.19)
u(x, t)												2a		F(z) dz.								(2.19)
				2								2a		x at

Формула (2.19) называется формулой д’Аламбера. Эта формула дает решение задачи о колебаниях бесконечной струны, описываемых одномерным волновым уравнением (2.7) при заданных начальных условиях (2.8).

2.2. Решение краевой задачи для однородного одномерного волнового уравнения методом Фурье

Рассмотрим несколько иную задачу: о смещениях точек закрепленной с обоих концов струны конечной длины l (то есть

0 x l), совершающей свободные	колебания		с	заданными
начальными условиями. Другими словами		найдем	нетривиальное
(ненулевое) решение уравнения	(2.7),	также	как	и ранее
удовлетворяющее начальным условиям (2.8)		и еще дополнительно

граничным условиям (условиям закрепления струны на концах):

u(0, t) 0,

u(l, t) 0.

(2.20)

По методу разделения переменных решение уравнения (2.7) будем искать в виде

u(x, t) X(x) T (t).

(2.21)

Подставляя (2.21) в (2.7), получим:

X(x) T (t) a2X (x) T (t).

Разделим это равенство на a2X(x) T (t):


T (t)	X
		(x)	.	(2.22)
a2T (t)
	X(x)

Функция, стоящая в равенстве (2.12) слева, зависит только от времени t, а функция, стоящая справа, зависит только от координаты x. Такое равенство при независимых переменных x и t возможно тогда и только тогда, когда обе эти функции равны одной и той же постоянной, которую обозначим через . Тогда из (2.22) следует, что


T (t)		X
	,		(x)	,

a2T (t)		X(x)

т. е. (2.22) распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения:

T (t) a2T (t) 0,		(2.23)
X		(2.24)
	(x) X(x) 0.

Граничные условия (2.20) дают:

X(0) T (t) 0,

X(l) T (t) 0,

а так как мы должны считать, что T (t) не может тождественно равняться нулю (иначе решение было бы тривиальным), то отсюда получаем

X(0) 0,

X(l) 0.

(2.25)

Предположим сначала, что в уравнениях (2.23) и (2.24) постоянная 0. Тогда общее решение уравнения (2.24) будет иметь вид:

X(x) C1e x C2e x,

где C1 и C2 – произвольные постоянные. Удовлетворение граничным условиям (2.25) приводит к системе:

	C2	0,
C1


	l	C2e		l
C1e		C2e			0,
решая которую, получаем C1	0, C2		0. Это означает, что в данном

случае будет X(x) 0, а поэтому и u(x, t) X(x) T (t) 0, что нам

не подходит, так как стоит задача поиска нетривиальных решений. По этим же причинам нельзя положить 0.

Таким образом, в уравнениях (2.23) и (2.24) постоянная должна быть взята отрицательной. В этом случае обозначим k2 .

Тогда эти уравнения перепишутся в виде:

T (t) c2k2T (t) 0,				(2.26)
X		2	X(x) 0.	(2.27)
	(x) k

Далее найдем нетривиальные решения X(x) обыкновенного дифференциального уравнения (2.27), удовлетворяющие граничным условиям (2.25).

Как известно из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (2.27) имеет вид

	X (x) C coskx D sinkx ,	(2.28)
где C и D	есть произвольные постоянные.	Удовлетворяя
граничным условиям (2.25), находим:

X(0) C 0, X (l) D sinkl 0.

Во втором равенстве D 0, так как в противном случае решение (2.28) будет тривиальным, а требуется найти нетривиальные решения задачи (2.27), (2.25). Но тогда должно выполняться равенство

sinkl 0.	(2.29)
Решая данное уравнение, получим, что k l π =n , где n	. Откуда

k kn		n	(n 1, 2, 3, ).	(2.30)
		l

Полученным значениям k kn соответствуют решения уравнения

X		(x) D	sin	n	x,	(2.31)
	n
		n		l

где Dn ‒ произвольная постоянная.

Каждому значению kn соответствует единственная (с точностью до множителя Dn ) функция Xn(x).

При k kn		общее решение уравнения (2.26) имеет вид:

	l

T	n	(t) A	n	cos	c n	t B	n	sin	c n	t ,

					l				l

где An и Bn – произвольные постоянные. Тогда решение уравнения

колебания струны, соответствующее kn , имеет вид:

c n

x ,

(x, t) X

(x) T

(t) a

cos

t b

sin

t sin

где введены новые произвольные постоянные: an AnDn , bn B nDn .

Это решение удовлетворяет уравнению (2.7) и граничным условиям (2.20) при любых an и bn .

В силу линейности и однородности уравнения (2.7) всякая конечная сумма решений будет также решением. То же справедливо и для ряда

c n

u(x, t)

cos

sin

t sin

x ,

(2.32)

если он сходится и его можно дважды почленно дифференцировать по x и t .

Поскольку каждое слагаемое в ряде (2.32) удовлетворяет граничным условиям (2.20), то этим условиям будет удовлетворять и

сумма ряда u(x, t),	потому что	если при	x 0 и x	l каждое
слагаемое обращается в нуль, то и сумма обратится в нуль.
Подберем an	и bn так,	чтобы	получилось	решение,

удовлетворяющее и начальным условиям (2.8). Для этого продифференцируем ряд (2.32) по t:

a n

(x, t)

an sin

t bn cos

t sin

x .

(2.33)

n 1

В силу начальных условий (2.8), полагая t

0 в (2.32) и (2.33),

получим:

f(x) an sin

F(x)

a nbn

sin

x .

(2.34)

n 1

Формулы (2.34) можно рассматривать как разложение заданных

функций f(x)

и F(x)

в ряд Фурье по синусам в интервале (0, l).

Коэффициенты этих разложений определяются по известным формулам:

	2 l		n		a nb	2 l		n
an		f(x) sin		x dx,	n		F(x) sin		x dx .
	l					l
		0	l		l		0	l

И тогда окончательно получим, что решение поставленной задачи (2.7), (2.8), (2.20) задается рядом

			c n			c n		n
u(x, t)	an	cos		t bn	sin		t sin		x ,	(2.35)
						l
n 1			l					l

в котором коэффициенты an

и bn

определяются формулами:

f(x) sin

x dx,

F(x) sin

x dx.

(2.36)

ф n

2.3. Примеры решения типовых задач

Пример 2.1. Найдите решение задачи Коши

u	(x, t) 9u			(x, t)	( x ,	t 0),
tt			xx
u(x, 0)		cosx,
		sinx.
ut(x, 0)		sinx.

Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой д’Аламбера (2.19). В поставленной задаче

a 3,

f(x) cosx ,

F(x) sinx .

Тогда

f(x at) f(x at)

x at

u(x, t)

F(z) dz

x at

cos(x 3t) cos(x 3t)

x 3t

sinz dz

6 x 3t

cosx cos3t cosz 6

x 3t

cosx cos3t cos(x 3t) cos(x 3t) 6

cosx cos3t 1sinx sin 3t . 3

Итак, окончательно имеем, что решением поставленной задачи

Коши является функция u(x, t) cosx cos3t 1sinx sin 3t .

Полученная функция имеет следующий график (рис. 2.2):

Рис. 2.2. График решения задачи 2.1

Пример 2.2. Найдите решение краевой задачи

u	tt	(x, t) 16u		xx	(x, t)	(0 x 2,	t 0),
	tt			xx			x
							x
u(x, 0) x			(2 x),			ut(x, 0) sin		,
u(x, 0) x			(2 x),			ut(x, 0) sin	2	,
			u(2, t) 0.				2
u(0, t) 0,			u(2, t) 0.

Решение. Для решения задачи воспользуемся формулами (2.35) и (2.36). В поставленной задаче

ф 4,

l 2,

f(x) x (2 x),

F(x) sin

Тогда по формуле (2.35)

a n

u(x, t)

cos

t bn sin

t sin

n 1

			n
an cos2 nt bn sin2 nt		sin		x .

n	1	2

Воспользовавшись формулами (2.36), найдём an и bn , используя метод интегрирования по частям:

				2	l				n							2									n
an				2	f(x) sin				n				x dx x (2 x) sin												n	x dx
an				l	f(x) sin								x dx x (2 x) sin												2	x dx
				l	0						l					0									2
2								n										2		2								n
(2x x2) sin								n			x dx							2		(2x x2)					dcos			n		x
(2x x2) sin											x dx							n		(2x x2)					dcos					x
0						2												n		0					2
0																				0
			4x 2x			2									2				2
															2
										n							2						n
							cos						x						cos					x d(2x x2)

					n												n
					n				2						0		n		0			2
																			0
	2	2										n								8		2					n
		2																				2
		(2 2x) cos												x		dx						(1 x) dsin							x
	n	(2 2x) cos												x		dx				2	2	(1 x) dsin							x
	n	0							2										n			0			2

					8									n				2				8			2						n
																		2

							(1 x)sin									x										sin										x d(1					x)

					2 2									2								2 2										2
						n								2				0			n				0							2
										2			n					0							0									n						2
							8																		16


										sin					x dx															cos									x

							2		2					2											3				3					2
							n			0				2										n										2						0
										0												16 1 ( 1)n																		0
								16 1 cos n														16 1 ( 1)n																.
												3n3																										.
												3n3																3n3
	Учитывая,						что ( 1)n							1,					если								n			–				четное							(n 2m) и
( 1)n	1, если							n –				нечетное,								то есть n 2m 1 , окончательно
получим:
											32											n 2m 1,																	m ,
																	,
								3(2m 1)3									,
						an		3(2m 1)3
											0 ,											n 2m ,																	m .

						2	2							n x dx										1					2					x sin							n x dx .
		bn				2	F(x) sin																	1					sin
		bn				c n	F(x) sin																2 n						sin
						c n	0							l									2 n						0					2							2
							0																						0
	Рассмотрим два случая: n 1 и n 1.
Пусть			n 1, тогда
				2											2			cos x																			2
b1			1	sin2			x dx						1		1			cos x									dx							1			(1 cos x) dx
b1			2	sin2			x dx						2		1				2								dx						4				(1 cos x) dx
			2	0			2						2		0				2														4				0
				0											0																						0
											1							1 sin x										2				1
																												2
														x																					.
														x																					.
												4																0			2
																												0
Пусть теперь n 1, то есть n																			2, 3, 4,													. Тогда имеем

sin

x sin

x dx

2 n

(n 1)

cos

4 n

(n 1)

sin

2 2n(n 1)

Таким образом, окончательно получим

n 1,

n 1.

Подставим в ряд u(x, t)

найденные значения an и bn :

u(x, t) an

cos2 nt bn sin2 nt

sin

n 1

sin2 nt sin

an cos2 nt sin

n 1

(2m 1)

b1 sin2 t sin

x a2m 1 cos2 (2m 1)t sin

m 1

(2m 1)

sin2 t sin

cos2 (2m 1)t sin

x .

(2m 1)

m 1

Итак, окончательно имеем, что решение поставленной краевой задачи задается следующим тригонометрическим рядом:

u(x, t) 1 sin2 t sin x 2 2

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20221.33 Mб4Учебное пособие 800288.pdf
#
01.05.20221.34 Mб2Учебное пособие 800289.pdf
#
01.05.2022316.82 Кб2Учебное пособие 80029.pdf
#
01.05.20221.34 Mб9Учебное пособие 800290.pdf
#
01.05.20221.35 Mб5Учебное пособие 800291.pdf
#
01.05.20221.35 Mб7Учебное пособие 800292.pdf
#
01.05.20221.35 Mб51Учебное пособие 800293.pdf
#
01.05.20221.35 Mб8Учебное пособие 800294.pdf
#
01.05.20221.35 Mб1Учебное пособие 800295.pdf
#
01.05.20221.36 Mб1Учебное пособие 800296.pdf
#
01.05.20221.37 Mб8Учебное пособие 800297.pdf