Учебное пособие 800154
.pdfМинистерство образования и науки Российской федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Воронежский государственный архитектурно–строительный университет»
В.Н. Колпачев, В.К. Каверина, В.В. Горяйнов, А.Д. Чернышов
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Учебно-методическое пособие
Воронеж 2015
УДК 519.21(075) ББК 22.17я7
К615
Рецензенты:
кафедра математического анализа Воронежского государственного университета;
Н.В. Минаева, д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры высшей математики Воронежского государственного университета инженерных технологий
Колпачев, В.Н.
К615 Теория вероятностей: учеб-метод. пособие /
В.Н. Колпачев, В.К. Каверина, В.В. Горяйнов, А.Д. Чернышов; Воронежский ГАСУ – Воронеж, 2015. – 69 с.
Содержит теоретический материал по курсу «Теория вероятностей», изучаемому студентами, обучающимися по направлениям подготовки бакалавров «Управление персоналом» и «Менеджмент». Приведены 30 вариантов расчет- но-графической работы с примерами решения типовых задач.
Предназначено для самостоятельной работы студентов указанных направлений. Будет полезно студентам других специальностей и направлений подготовки бакалавров.
Библиогр.: 6 назв.
УДК 519.21(075) ББК 22.17я7
ISBN 978-5-89040-534-0 |
© Колпачев В.Н., Каверина В.К., |
|
Горяйнов В.В., Чернышов А.Д., 2015 |
|
© Воронежский ГАСУ, 2015 |
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение……………………….………………………………………..... 4
1.Случайные события …………………………………………………. 5
1.1.Элементы комбинаторики……………………………………….. 5
1.1.1. Принцип умножения……………………………………… 5
1.1.2.Размещения………………………………………………... 5
1.1.3.Перестановки……………………………………………… 6
1.1.4.Сочетания………………………………………………….. 6
1.2.Основные определения…………………………………………... 7
1.3.Классическое определение вероятности………………………... 8
1.4.Теоремы сложения и умножения вероятностей………………... 10
1.5.Формула полной вероятности…………………………………… 12
1.6.Схема Бернулли…………………………………………………... 14
1.6.1.Формула Бернулли………………………………………... 14
1.6.2.Формула Пуассона………………………………………... 14
1.6.3.Локальная формула Муавра-Лапласа……………………. 15
1.6.4.Интегральная формула Муавра-Лапласа………………... 16
2.Случайные величины……………………………………………….. 18
2.1.Дискретные случайные величины………………………………. 18
2.2. Числовые характеристики дискретной случайной величины… |
19 |
2.2.1. Математическое ожидание дискретной |
|
случайной величины……………………………………… |
19 |
2.2.2. Дисперсия дискретной случайной величины…………… |
20 |
2.2.3.Среднее квадратическое отклонение…………………….. 21
2.3.Непрерывные случайные величины…………………………….. 25
2.4.Числовые характеристики непрерывной случайной величины. 26
2.5. Нормальный закон распределения……………………………… |
29 |
3. Варианты расчетно-графической работы………………………… |
31 |
3.1.Характеристика заданий…………………………………………. 31
3.2.Индивидуальные задания………………………………………... 32
Заключение………………………………………………………………. 68
Библиографический список рекомендуемой литературы………… 68
3
ВВЕДЕНИЕ
Теория вероятностей – раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений. Возникновение теории вероятностей относится к середине XVIII века и связано с именами Гюйгенса, Паскаля, Ферма и Якова Бернулли. Современное развитие теории вероятностей характеризуется большим интересом к ней, а также расширением круга ее практических приложений.
Предлагаемое учебно-методическое пособие содержит краткий теоретический материал и варианты расчетно-графической работы по курсу «Теория вероятностей», изучаемому студентами, обучающимися по направлениям подготовки бакалавров «Управление персоналом» и «Менеджмент».
Данное пособие состоит из трех глав. Первая глава посвящена случайным событиям и включает основные определения теории вероятностей, элементы комбинаторики, классическое определение вероятности, теоремы сложения и умножения вероятностей, формулу полной вероятности и схему Бернулли.
Во второй главе приводятся сведения о случайных величинах – дискретных и непрерывных. Рассматриваются такие их числовые характеристики, как математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Описан нормальный закон распределения непрерывной случайной величины.
Тридцать вариантов и характеристика заданий расчетно-графической работы приведены в третьей главе. Каждый вариант содержит 10 заданий. Подробное решение задач, подобных входящим в расчетно-графическую работу, приведено в тексте учебно-методического пособия.
Авторы выражают благодарность кандидату физ.-мат. наук, доценту А.М. Дементьевой, внимательно прочитавшей рукопись. Ее ценные замечания и рекомендации помогли улучшить содержание пособия.
4
1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
1.1.Элементы комбинаторики
1.1.1.Принцип умножения
Пусть необходимо выполнить одновременно k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе - n2 способами, ..., k -е дейст-
вие - nk способами. Тогда все k действий вместе можно выполнить
n1 n2 nk способами.
Пример 1.1. Сколько существует двузначных чисел?
Решение. Двузначное число – это число, состоящее из двух цифр: первая цифра показывает число десятков, вторая цифра – число единиц. Первая цифра может быть любой, кроме 0, следовательно n1 9, вторая цифра может быть
любой, поэтому n2 10. Значит, всего двузначных чисел: |
n1 n2 9 10 90 . |
Другой способ решения этой задачи – это простой перебор всех двузначных чисел.
Пример 1.2. Подбрасывают три игральные кости и наблюдают за числом очков, выпавших на каждой кости. Сколько различных комбинаций может быть?
Решение. В первом действии подбрасываем первую игральную кость, на выпавшей грани может появиться от одного до шести очков, т.е. n1 6 . Анало-
гично n2 6 , n3 6 . Тогда число всех комбинаций: n1 n2 n3 6 6 6 216.
Замечание 1.1. Если на выполнение какого-либо из k действий наложено ограничение, то подсчет удобнее начинать с выполнения именно этого действия.
Пример 1.3. В машине 7 мест, одно место водителя. Сколькими способами могут сесть в машину 7 человек, если место водителя могут занять только трое из них?
Решение. Учитывая замечание 1.1, начнем с места водителя n1 3, следующее место может занять любой из оставшихся человек, т.е. n2 6 , анало-
гично |
n3 5, |
n4 4, |
n5 3, |
n6 2 , |
n7 1. |
Следовательно, |
n1 n2 n3 |
n4 n5 n6 |
n7 3 6 5 4 3 2 1 2160. |
|
|
||
|
|
|
1.1.2. Размещения |
|
|
|
Пусть A - множество, состоящее из элементов a1,a2 ,...,an . |
|
|||||
Определение 1.1. Упорядоченные наборы, |
состоящие из k элементов |
|||||
5
множества A , будем называть размещениями из n элементов множества A по k элементов.
Находится число всех размещений из |
n элементов множества A по k |
|||
элементов по формуле |
n! |
|
|
|
Ak |
|
, |
||
|
||||
n |
(n k)! |
|
||
|
|
|||
где n! 1 2 n - факториал числа n .
Пример 1.4. В соревнованиях участвуют 10 команд. Сколькими способами могут распределиться призовые места?
Решение. Всего участвуют 10 команд, значит n 10 . Поскольку при распределении призовых мест порядок важен, речь идет о размещениях. Так как призовых мест три, то k 3 . Следовательно,
A3 |
|
10! |
|
10! 10 9 8 720 . |
|
||||
10 |
|
(10 3)! |
7! |
|
|
|
|||
1.1.3. Перестановки
Определение 1.2. Перестановками из n элементов называют наборы, состоящие из всех n элементов, отличающиеся только порядком элементов в них.
Находится число всех перестановок из n элементов по формуле
Pn n!.
Пример 1.5. Сколькими способами 4 человека могут разместиться в четырехместном купе?
Решение. Очевидно, что здесь речь идет о перестановках из 4 элементов, следовательно: P4 4! 1 2 3 4 24 .
1.1.4. Сочетания
Определение 1.3. Неупорядоченные наборы, состоящие из k элементов множества A , будем называть сочетаниями из n элементов множества A по k элементов.
Находится число всех сочетаний из n элементов множества A по k элементов по формуле
Сnk |
n! |
|
. |
|
k!(n k)! |
||||
|
|
|||
Пример 1.6. На окружности выбрано 10 точек. Сколько различных треугольников с вершинами в этих точках можно построить?
6
Решение. Треугольник имеет три вершины, значит, необходимо выбрать три точки из 10, причем порядок выбранных точек не имеет значения. Поэтому число различных треугольников находится по формуле
С3 |
10! |
10 9 8 120 . |
10 |
3!7! |
1 2 3 |
|
Пример 1.7. В группе 5 отличников, 10 хорошистов и 15 троечников. Для поездки на конференцию отбирают 7 человек. Сколькими способами можно набрать студентов так, чтобы среди них было 4 отличника, 2 хорошиста и один троечник.
Решение. Требуется выполнить одновременно три действия:
1.Выбрать 4 отличника из 5.
2.Выбрать 2 хорошиста из 10.
3.Выбрать 1 троечника из 15.
Тогда n С4 |
|
5! |
5 ; |
n |
C2 |
10! |
10 9 45; |
n С1 |
|
15! |
|
15 . |
||
|
|
|||||||||||||
1 |
5 |
|
4!1! |
2 |
10 |
2!8! |
1 2 |
3 |
15 |
1!14! |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Различных наборов студентов на конференцию может быть: n1 n2 n3 5 45 15 3375.
1.2. Основные определения
Всякий факт, который может наблюдаться при наличии некоторых условий, будем называть событием. Условия, при наличии которых может произойти событие, будем называть опытом или испытанием. В дальнейшем любое событие, которое может появиться в результате опыта, будем называть исходом опыта. Если нельзя отдать предпочтение ни одному из исходов в смысле возможности его появления, то исходы называют равновозможными.
Определение 1.4. Событие называют случайным, если в результате опыта оно может появиться или не появиться.
Определение 1.5. Достоверным событием называется событие, которое обязательно произойдет в результате опыта.
Определение 1.6. Событие, которое в результате опыта не может произойти, называется невозможным.
События обозначают заглавными буквами латинского алфавита.
Определение 1.7. Возможность появления того или иного события характеризуется числом, называемым вероятностью этого события.
7
Вероятность обозначается буквой Р и для невозможного события равна нулю, для достоверного – равна единице, а для случайного находится в пределах от нуля до единицы, т.е.
0 P A 1.
Определение 1.8. Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же опыте. В противном случае эти события называют совместными.
Определение 1.9. События A1, A2 ,..., An называют полной группой собы-
тий, если в результате опыта появляется хотя бы одно из этих событий.
Определение 1.10. Событие A называют противоположным событию A , если события A и A несовместны и образуют полную группу.
Определение 1.11. Два события называются независимыми, если вероятность любого из них не зависит от появления или непоявления другого. В противном случае события называют зависимыми.
Определение 1.12. Пусть A и B - зависимые события. Условной вероятностью P(B | A) (или PA (B)) называют вероятность события B , вычисленную в
предположении, что событие A уже наступило. Если A и B - независимые со-
бытия, то PA (B) P(B) . |
|
|
Определение 1.13. Суммой событий A |
и B |
называется событие |
C A B , которое заключается в появлении хотя бы одного из событий A , B . |
||
Определение 1.14. Произведением событий |
A и |
B называется событие |
C A B , которое заключается в совместном появлении событий A и B .
1.3. Классическое определение вероятности
Рассмотрим опыт, в результате которого может появиться событие A . Пусть известно, что этот опыт имеет n равновозможных, несовместных исходов, образующих полную группу. В этом случае можно использовать классическое определение вероятности. Элементарные исходы, в которых появляется событие A , называются благоприятствующими этому событию.
8
Определение 1.15. Вероятностью события А называется число P(A) ,
равное отношению числа исходов опыта, благоприятствующих событию А, к общему числу исходов:
P(A) mn ,
где n - общее число исходов опыта, m - число исходов опыта, благоприятствующих событию А.
Пример 1.8. Бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна семи.
Решение. Опыт состоит в подбрасывании двух игральных костей один раз и наблюдении за суммой выпавших очков. Будем считать разными исходами опыта различные варианты выпавших очков на обеих костях. Исходы опыта являются равновозможными, несовместными и образуют полную группу, значит, можно применить классическое определение вероятности.
Число всех исходов опыта можно найти, используя принцип умножения: n 6 6 36 .
Рассмотрим событие A - сумма очков на выпавших гранях равна семи. Исходы, благоприятствующие событию А: 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4, 4 и 3, 5 и 2, 6 и 1. Всего m 6 . Найдем вероятность события A :
P( A) mn 366 16 .
Пример 1.9. Набирая номер телефона, человек забыл три последние цифры, но помнит, что они различные, и набрал их наудачу. Найти вероятность то-
го, что он набрал нужные цифры. |
|
|
||
Решение. Опыт состоит в выборе наудачу трех |
различных цифр из 10. |
|||
Все |
исходы опыта – |
множество размещений |
из 10 по |
3, т.е. |
n A3 |
10! 8 9 10 720 . |
|
|
|
10 |
7! |
|
|
|
|
A - набраны нужные цифры. Очевидно, |
что такое |
||
Рассмотрим событие |
||||
расположение цифр единственно, т.е. m 1. Найдем вероятность события A :
P( A) mn 7201 .
Пример 1.10. В ящике находится 20 деталей, из них 8 бракованных. Из ящика наудачу извлекают 5 деталей. Найти вероятность того, что среди них окажутся две бракованные детали.
Решение. Опыт состоит в выборе наудачу пяти деталей из 20. Множество элементарных исходов опыта – множество сочетаний из 20 по 5, т.е.
9
n С205 |
|
20! |
|
|
16 |
17 18 19 20 |
15504 . |
|
5!15! |
1 2 3 4 5 |
|||||||
|
|
|
||||||
Рассмотрим событие |
A - среди |
5 деталей, |
извлеченных из ящика, две |
|||||
бракованные, т.е. среди 5 деталей будет 2 бракованные и 3 небракованные. Число исходов, благоприятствующих событию А, можно найти по принципу умножение. Необходимо выполнить два действия: из 8 бракованных деталей выбрать 2 детали; из 12 небракованных деталей выбрать 3 детали. Тогда первое
действие можно выполнить n |
|
С2 |
|
8! |
|
7 8 |
28 способами, второе дейст- |
|
|
|
|
||||||
1 |
|
8 |
|
2!6! |
1 2 |
|||
|
|
|
|
|
||||
вие можно выполнить n |
С3 |
12! 10 11 12 220 способами. Итак, |
||||||
2 |
|
12 |
3!9! |
|
1 2 3 |
|||
m 28 220 6160 . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем вероятность события A : |
|
|
|
|
||||
P( A) m |
|
6160 |
0,397 . |
|||||
|
|
n |
|
15504 |
|
|
||
1.4. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое уже наступило:
P( A B) P(A) P(B | A) .
Следствие 1.1. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
P(A B) P(A) P(B) .
Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух событий находится по формуле
P( A B) P(A) P(B) P(A B) .
Следствие 1.2. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
P(A B) P(A) P(B) .
Следствие 1.3. Для противоположных событий A и A справедлива фор-
мула
10