Учебное пособие 800154

P(A) P(A) 1.

Пример 1.11. Два радиолокатора независимо друг от друга ищут цель. Вероятность ее обнаружения для первого локатора равна 0,8; для второго - 0,7. Какова вероятность того, что хотя бы один из них обнаружит цель?

Решение. Пусть событие A - хотя бы один из локаторов обнаружит цель; событие A1 - первый локатор обнаружит цель, причем вероятность этого собы-

тия дана по условию: P( A1) 0,8; событие A2 - второй локатор обнаружит цель, причем P(A2 ) 0,7 .

Рассмотрим два способа решения задачи.

Первый способ. Очевидно, что A A1 A2 . Так как события A1 и A2 со-

вместны, то

P(A) P(A1 A2 ) P(A1) P(A2 ) P(A1 A2 ) .

Согласно условию события A1 и A2 независимы, следовательно:

P( A1 A2 ) P(A1) P(A2 ) .

Получаем

P(A) P(A1) P(A2 ) P( A1) P( A2 ) 0,8 0,7 0,8 0,7 0,94 .

Второй способ. Этот способ решения задачи состоит в рассмотрении события противоположного событию A , а именно события A - ни один локатор не обнаружил цель, т.е. A A1 A2 . События A1 и A2 также являются независи-

мыми, причем P(A1) 1 P(A1) 1 0,8 0,2, а P(A2 ) 1 P(A3 ) 1 0,7 0,3 .

Получаем: P( A) P( A1 A2 ) P(A1) P(A2 ) 0,2 0,3 0,06 , а вероятность собы-

тия A равна: P( A) 1 P( A) 1 0,06 0,94 .

Замечание 1.2. Второй способ решения задачи удобно использовать при отыскании вероятности суммы трех и более совместных событий. Например, событие A A1 A2 A3 состоит в появлении хотя бы одного из событий A1 ,

A2 , A3 . Тогда противоположное событие A A1 A2 A3 заключается в непоявлении ни одного из событий A1 , A2 , A3 , т.е. A A1 A2 A3 . Следовательно,

P(A) 1 P(A1 A2 A3 ) 1 P(A1 A2 A3 ) .

Пример 1.12. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй экзамен – 0,8; третий экзамен – 0,7. Найти вероятность того, что:

1)студент сдаст только один экзамен;

2)студент сдаст не менее двух экзаменов.

Решение. Обозначим через A1 событие - студент сдаст первый экзамен,

11

причем P(A1) 0,9 ; через A2 - студент сдаст второй экзамен, P(A2 ) 0,8 ; через A3 - студент сдаст третий экзамен, P(A3 ) 0,7 .

1. Пусть событие A - студент сдаст только один экзамен.

Событие A произойдет, если студент сдаст первый экзамен и не сдаст второй и третий, или студент сдаст второй экзамен и не сдаст первый и третий, или студент сдаст третий экзамен и не сдаст первый и второй. Тогда получим

A A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 .

Все слагаемые события являются несовместными, а в каждом слагаемом события (множители) независимы, поэтому

P(A) P(A1)P(A2 )P(A3 ) P( A1)P(A2 )P( A3 ) P( A1)P( A2 )P( A3 )

P(A1)(1 P(A2 ))(1 P(A3 )) (1 P(A1))P(A2 )(1 P(A3 ))

(1 P( A1))(1 P( A2 ))P(A3 )

0,9 0,2 0,3 0,1 0,8 0,3 0,1 0,2 0,7 0,092.

2.Пусть событие B - студент сдаст не менее двух экзаменов.

Событие B произойдет, если студент сдаст первый и второй экзамены и не сдаст третий, или студент сдаст первый и третий экзамены и не сдаст второй, или студент сдаст второй и третий экзамен и не сдаст первый или сдаст все три экзамена. Тогда получим

B A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 .

Все слагаемые события B являются несовместными, а в каждом слагаемом события (множители) независимы, поэтому

P(B) P(A1)P(A2 )P(A3 ) P(A1)P( A2 )P( A3 ) P(A1)P(A2 )P( A3 )

P( A1)P(A2 )P(A3 ) P( A1)P( A2 )(1 P( A3 )) P( A1)(1 P( A2 ))P( A3 )

(1 P(A1))P(A2 )P(A3 ) P(A1)P(A2 )P(A3 )

0,9 0,8 0,3 0,9 0,2 0,7 0,1 0,8 0,7 0,9 0,8 0,7 0,902.

1.5. Формула полной вероятности

Пусть событие A происходит только совместно с одним из событий (гипотез) H1, H2 ,..., Hn , которые образуют полную группу попарно несовместных

событий. Тогда вероятность события A находится по формуле полной вероят-

ности:

P( A) P(H1)P(A | H1) P(H2 )P(A | H2 ) ... P(Hn )P(A | Hn ) ,

12

где P(Hi ) (i 1,...,n ) – вероятность гипотезы Hi ; P(A | Hi ) (i 1,...,n ) – условная

вероятность события A , т.е. вероятность появления события A при условии, что гипотеза Hi уже наступила.

Пример 1.13. Три станка изготовляют одинаковые детали. Известно, что первый станок производит 30 % всей продукции, второй – 25 %, а третий – 45 %. Вероятность изготовления стандартной детали на первом станке равна 0,9; на втором – 0,95; на третьем – 0,98. Все изготовленные за смену детали складываются вместе. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь будет бракованной.

Решение. Пусть событие A - взятая наудачу деталь бракованная. Это событие может произойти, когда деталь произведена на первом, или втором, или третьем станке. Поэтому гипотезы сформулируем так: H1 - деталь изготовлена

на первом станке; H2 - деталь изготовлена на втором станке; H3 - деталь изго-

товлена на третьем станке. Тогда вероятность события A можно найти по формуле полной вероятности:

P( A) P(H1)P( A | H1) P(H2 )P(A | H2 ) P(H3 )P(A | H3 ) .

Найдем указанные вероятности. С учетом производительности станков получаем: P(H1) 100%30% 0,3 , P(H2 ) 100%25% 0,25 , P(H3 ) 100%45% 0,45. Вы-

числим условные вероятности брака, используя данные о вероятности изготов-

Пример 1.14. В магазин поступают телевизоры с двух заводов, причем телевизоров с первого завода в три раза больше, чем со второго. Первый завод поставляет 90 % телевизоров, способных прослужить гарантийный срок, а второй – 85 %. Найти вероятность того, что купленный телевизор прослужит гарантийный срок.

Решение. Пусть событие A - купленный телевизор прослужит гарантийный срок. Это событие может произойти, когда телевизор произведен на первом или втором заводах. Поэтому гипотезы сформулируем так: H1 - телевизор

изготовлен на первом заводе; H2 - телевизор изготовлен на втором заводе. Тогда вероятность события A можно найти по формуле полной вероятности:

P(A) P(H1)P(A | H1) P(H2 )P(A | H2 ) .

С учетом производительности заводов получаем: P(H1) 34 0,75 ,

13

P(A | H2 ) 100%85% 0,85 . Следовательно,

P( A) 0,75 0,9 0,25 0,85 0,8875 .

1.6.Схема Бернулли

1.6.1.Формула Бернулли

Пусть проводится n однотипных испытаний независимо друг от друга, в каждом из которых событие A может появиться с вероятностью p и не поя-

виться с вероятность q 1 p . Такая ситуация называется схемой повторения

независимых испытаний или схемой Бернулли.

Вероятность того, что событие A произойдет ровно k раз в n независимых испытаниях, можно вычислить по формуле Бернулли:

Pn (k) Cnk pk qn k .

Пример 1.15. Прибор состоит из пяти узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени t ) для каждого узла равна 0,9. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что за время

число отказавших узлов за время t : k 2 . Найдем вероятность того, что за время t откажут ровно два узла, по формуле Бернулли:

P5 (2) C52 (0,1)2 (0,9)3 2!3!5! 0,01 0,729 0,0729 .

1.6.2. Формула Пуассона

Если число испытаний велико, а вероятность p близка к нулю ( p 0,1), то формулу Бернулли заменяют приближенной формулой Пуассона:

Pn (k) k e , k!

где n p 10.

14

1.6.4. Интегральная формула Муавра-Лапласа

Пусть в схеме Бернулли требуется найти вероятность того, что событие

Aпроизойдет не менее k1 , не более k2 раз в n испытаниях, тогда при малых k1

иk2 используют формулу

Pn (k1;k2 ) Pn (k1) Pn (k1 1) ... Pn (k2 ) ,

где каждое слагаемое вычисляется либо по формуле Бернулли (если n мало), либо по формуле Пуассона (если n велико, а p мало).

Пример 1.18. Из партии деталей отобраны для контроля 8 штук. Известно, что доля нестандартных деталей во всей партии составляет 20 %. Найти вероятность того, что не менее 6 деталей окажутся стандартными.

Решение. Имеем схему Бернулли: p 0,8 ; q 0,2 ; n 8 . Так как n мало, то для отыскания вероятности P8 (6;8) применим формулу

P8 (6;8) P8 (6) P8 (7) P8 (8) ,

где каждое слагаемое найдем по формуле Бернулли:

P8 (6;8) P8 (6) P8 (7) P8 (8) C86 0,860,22 C87 0,870,21 C88 0,880,20

0,86 28 32 16 0,629.

25 25 25

Пример 1.19. Завод отправил на базу 2000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,001. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено не более одного изделия.

Решение. Имеем схему Бернулли: p 0,001; n 2000. Так как p мало, а n велико, то для отыскания вероятности P1000 (0;1) применим формулу

P1000 (0;1) P1000 (0) P1000 (1) ,

каждое слагаемое найдем по формуле Пуассона ( 2000 0,001 2 ), в результате получим:

16

2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Определение 2.1. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта примет одно и только одно возможное значение, при этом заранее неизвестно, какое именно.

Случайные величины обозначаются обычно заглавными буквами латинского алфавита X ,Y ,..., возможные значения случайной величины строчными

буквами - x, y,....

Случайные величины могут быть дискретными или непрерывными.

2.1. Дискретные случайные величины

Определение 2.2. Дискретной называется случайную величину, значения которой являются конечной или бесконечной последовательностью.

Полная информация вероятностного характера о дискретной случайной величине содержится в следующей таблице:

Здесь в первой строке таблицы перечислены в возрастающем или убывающем порядке все значения xi дискретной случайной величины X , а во вто-

рой строке перечислены вероятности, с которыми эти значения могут произойти в опыте: pi P( X xi ) , i 1,...,n . Такая таблица называется законом распре-

деления дискретной случайной величины X .

Ясно, что события X x1 , X x2 ,..., X xn образуют полную группу несовместных событий. Поэтому сумма их вероятностей равна 1:

p1 p2 ... pn 1.

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для этого в декартовой системе координат строят точки (xi , pi ) , а

затем последовательно соединяют их отрезками. Полученную ломаную назы-

вают многоугольником распределения.

Отметим, что полностью описать вероятностный характер случайной величины как дискретной, так и непрерывной можно, задав функцию распределения случайной величины.

Определение 2.3. Пусть x ‒ любое вещественное число. Функцию F(x)

18

называют функцией распределения случайной величины X , если ее значения определяются формулой

F(x) P(x X ) ,

т.е. значение функции распределения для каждого x ‒ это вероятность того, что случайная величина X примет значение, лежащее левее, чем x .

Для дискретной случайной величины очевидно, что функцию распределения можно находить по формуле

F(x) pi .

i:xi x

Свойства функции распределения дискретной случайной величины:

1.0 F(x) 1.

2.F(x) ‒ неубывающая функция.

3.F(x) ‒ ступенчатая функция, имеющая в каждой точке xi i 1,2,... разрывы первого рода со скачками, равными pi .

4.F(x) 0 при x x1 и F(x) 1 при x xn .

2.2. Числовые характеристики дискретной случайной величины

2.2.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Пусть закон распределения дискретной случайной величины задан табли-

висимые случайные величины.

19