Учебное пособие 800154
.pdf
D X M (X 2 ) (M (X ))2 .
Пусть закон распределения дискретной случайной величины X задан таблицей:
X |
x1 |
x2 |
... |
xn |
P |
p1 |
p2 |
... |
pn |
Тогда дисперсию дискретной случайной величины можно находить по формулам:
n
D(X ) xi M (X ) 2 pi
i 1
или
n
D(X ) xi2 pi (M (X ))2 .
i 1
Свойства дисперсии
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
D(c) 0 , где c const .
2.Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его
вквадрат:
D(cX ) c2 D(X ) , где c const .
3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
D(X Y ) D(X ) D(Y ) .
4. Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
D(X Y ) D(X ) D(Y ) .
2.2.3. Среднее квадратическое отклонение
Средним квадратическим отклонением (X ) случайной величины называется квадратный корень из дисперсии этой величины:
(X ) D(X ) .
21
Пример 2.1. Стрелок стреляет по мишени три раза. Вероятность попасть в цель при первом выстреле 0,8; при втором – 0,6; при третьем – 0,5. Построить закон распределения случайной величины – числа попаданий в цель. Вычислить числовые характеристики случайной величины.
Решение. Случайная величина X - число попаданий в цель, может принимать следующие значения:
x1 0 , x2 1, x3 2 , x4 3 .
Пусть событие A1 - стрелок попал в цель при первом выстреле, его вероятность равна P(A1) 0,8; событие A2 - стрелок попал в цель при втором выстреле, его вероятность равна P( A2 ) 0,6 ; событие A3 - стрелок попал в цель при третьем выстреле, его вероятность равна P(A3 ) 0,5 .
Тогда вероятность того, что случайная величина X примет значение x1 0 , означает, что произойдет событие – стрелок ни первый, ни второй, ни
третий раз не попал в цель, т.е.
p1 P(X x1) P(X 0) P(A1 A2 A3 ) (1 P(A1))(1 P(A2 ))(1 P(A3 ))(1 0,8)(1 0,6)(1 0,5) 0,04.
Аналогично,
p2 P(X x2 ) P(X 1) P(A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 )
0,8 (1 0,6) (1 0,5) (1 0,8) 0,6 (1 0,5) (1 0,8) (1 0,6) 0,5 0,26. p3 P(X x3 ) P( X 2) P(A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 )
0,8 0,6 (1 0,5) (1 0,8) 0,6 0,5 0,8 (1 0,6) 0,5 0,46. p4 P(X x4 ) P(X 3) P(A1 A2 A3 ) 0,8 0,6 0,5 0,24.
Составим закон распределения случайной величины X :
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
P |
0,04 |
0,26 |
0,46 |
0,24 |
Проверим тождество p1 p2 ... pn 1: 0,04+0,26+0,46+0,24=1.
Найдем числовые характеристики случайной величины X :
M (X ) 0 0,04 1 0,26 2 0,46 3 0,24 1,9 .
Для вычисления дисперсии применим формулу
22
n |
|
|
D(X ) xi |
2 pi (M (X ))2 02 0,04 12 0,26 22 0,46 32 0,24-(1,9)2 0,65 . |
|
i 1 |
|
|
|
(X ) |
0,65 0,86 . |
Пример 2.2. Экзаменатор задает студенту не более трех дополнительных вопросов. Вероятность того, что студент ответит на любой вопрос, 0,7. Преподаватель прекращает экзаменовать студента, как только студент не отвечает на дополнительный вопрос. Построить закон распределения случайной величины
– числа дополнительных вопросов, заданных студенту. Вычислить числовые характеристики случайной величины.
Решение. Случайная величина X - число дополнительных вопросов, заданных студенту, может принимать следующие значения:
|
x1 1, |
x2 2, x3 3. |
|
Пусть событие A |
- студент ответил на дополнительный |
вопрос, |
|
P(A) 0,7 . |
|
|
|
Тогда вероятность |
того, что |
случайная величина X примет |
значение |
x1 1, означает, что произойдет событие – студент не ответил на первый вопрос, т.е.
p1 P( X x1) P(X 1) P( A) 1 P(A) 1 0,7 0,3.
Аналогично,
p2 P(X x2 ) P(X 2) P(A A) 0,7 (1 0,7) 0,21. |
|||
p3 P(X x3 ) P(X 3) P(A A) 0,7 0,7 0, 49. |
|||
Составим закон распределения случайной величины X : |
|||
X |
1 |
2 |
3 |
P |
0,3 |
0,21 |
0,49 |
Проверим тождество p1 p2 ... pn 1: 0,3+0,21+0,9=1.
Найдем числовые характеристики случайной величины X :
M (X ) 1 0,3 2 0,21 3 0,49 2,19 .
Для вычисления дисперсии применим формулу
23
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D(X ) xi |
2 pi (M (X ))2 |
12 |
0,3 22 0,21 32 0,49 (2,19)2 |
0,7539 . |
|||||||||||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(X ) |
|
0,7539 0,868 . |
|
||||||||||
Пример 2.3. Независимые случайные величины заданы законами распре- |
|||||||||||||||
деления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
||||
|
|
P |
|
0,3 |
|
0,5 |
|
0,2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Y |
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
P |
|
|
0,8 |
|
0,2 |
|
|
|
|||
Найти числовые характеристики случайной величины Z X 2 2Y 10 . |
||||||
Решение. С учетом свойств математического ожидания получим: |
||||||
M (Z ) M (X 2 2Y 10) M (X 2 ) M (2Y ) M (10) M (X 2 ) 2M (Y ) 10 . |
||||||
Найдем M (X 2 ) , |
для этого составим закон распределения случайной ве- |
|||||
личины X 2 : |
|
|
|
|
|
|
|
X 2 |
|
( 1)2 |
02 |
12 |
|
|
P |
|
0,3 |
0,5 |
0,2 |
|
Тогда
M (X 2 ) 1 0,3 0 0,5 1 0,2 0,5 , а M (Y ) 2 0,8 4 0,2 2,4 .
M (Z ) 0,5 2 2,4 10 5,7 .
С учетом свойств дисперсии получим:
D(Z ) D(X 2 2Y 10) D(X 2 ) D(2Y ) D(10)
D(X 2 ) 4D(Y ) 0 D( X 2 ) 4D(Y ).
Так как D(X 2 ) M (X 4 ) (M (X 2 ))2 , то найдем сначала M (X 4 ) , для этого
составим закон распределения случайной величины X 4 :
|
X 4 |
( 1)4 |
04 |
14 |
|
|
|
P |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
|
|
Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
M (X 4 ) 1 0,3 |
0 0,5 1 0,2 0,5 , |
||||
D(X 2 ) M ( X 4 ) (M |
(X 2 ))2 0,5 (0,5)2 0,25 . |
|||||
24
Аналогично найдем D(Y ) M (Y 2 ) (M (Y ))2 , составив закон распределения случайной величины Y 2 :
Y 2 |
22 |
42 |
P |
0,8 |
0,2 |
Тогда
M (Y 2 ) 4 0,8 16 0,2 6,4 , а D(Y ) 6,4 (2,4)2 0,64 .
D(Z ) D(X 2 ) 4D(Y ) 0,25 4 0,64 2,81.
(Z ) D(Z ) 2,81 1,67 .
2.3.Непрерывные случайные величины
Определение 2.7. Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения F(X ) является непрерывной. (Определение функ-
ции распределения см. в п.2.1.)
Свойства функции распределения непрерывной случайной величины:
1.0 F(x) 1.
2.F(x) - неубывающая функция.
3.Если множеством значений величины X является отрезок a,b , то
|
F(X ) 0 для x a и F(X ) 1 для x b . |
|
4. |
Если множеством значений величины X является вся числовая ось, то |
|
|
lim F(X ) 0 |
и lim F(X ) 1. |
|
x |
x |
5. |
Для любых a b верно |
|
P(a X b) F(b) F(a) .
Замечание 2.2. Справедлива формула
P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b) F(b) F(a) .
Определение 2.8. Функция f (x) , являющаяся производной функции распределения F(x) случайной величины X , называется плотностью распреде-
ления вероятностей непрерывной случайной величины X , т.е. f (x) F (x) .
25
Функция f (x) существует во всех точках, в которых существует производная функции F(x) .
Свойства плотности распределения вероятностей:
1.f (x) 0 .
2.Справедливо условие нормировки
f (x)dx 1.
3. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b] , то
b f (x)dx P(a X b) .
a
4. Функцию распределения F(x) можно находить по известной плотности распределения вероятностей f (x) :
F(x) x f (t)dt .
Замечание 2.3. Функцию распределения F(x) называют интегральной функцией распределения, а плотность распределения вероятностей f (x) -
дифференциальной функцией распределения.
2.4. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
Математическое ожидание непрерывной случайной величины – число, определяемое по формуле
M (X ) x f (x)dx ,
если сходится несобственный интеграл.
Если множеством значений непрерывной случайной величины X является отрезок [a,b] , то математическое ожидание можно находить по формуле
M (X ) b x f (x)dx .
a
26
Дисперсия D(X ) непрерывной случайной величины определяется так же, как в п.2.2.2, и находится по формуле
D(X ) x M (X ) 2 f (x)dx ,
если сходится несобственный интеграл.
Более удобной для вычисления дисперсии является формула
D(X ) x2 f (x)dx M (X ) 2 .
Если множеством значений непрерывной случайной величины X является отрезок [a,b] , то дисперсию можно находить по формулам:
D(X ) b x M (X ) 2 |
f (x)dx или D(X ) b x2 f (x)dx M (X ) 2 . |
a |
a |
Замечание 2.4. Свойства математического ожидания и дисперсии одинаковы в случае дискретной и непрерывной случайных величин.
Среднее квадратическое отклонение (X ) непрерывной случайной величины X также равно квадратному корню из D(X ) :
(X ) D(X ) .
Пример 2.4. Плотность распределения вероятностей случайной величины X равна
|
0 |
при x 0; |
|
x |
при 0 x 4; |
f (x) a 4 |
||
|
0 |
при x 4. |
|
Найти функцию распределения и числовые характеристики случайной величины X ; вероятность P( 1 X 3) .
Решение. Для нахождения параметра a |
воспользуемся условием норми- |
||||||||||||
ровки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
f (x)dx 0dx a(4 x)dx 0dx 0 a(4 x)dx 0 |
||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
|
|
a |
|
4x |
|
4 |
|
x |
2 |
|
4 |
|
a 16 8 8a 1, |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
2 |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
27
Отсюда a |
1 . |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
Тогда функцию плотности распределения можно переписать: |
||||||
|
|
|
|
0 |
при x 0; |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
x |
при 0 x 4; |
||
|
f (x) |
8 |
||||
|
|
|
0 |
при x 4. |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Найдем функцию распределения F(x) x |
f t dt . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
При x 0 : F(x) x 0dt 0 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
x |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
При 0 |
x 4: F(x) |
0dt 1 |
(4 t)dt 0 |
|
4t t |
|
|
|
|
|
|
4x |
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 8 |
|
8 |
|
|
2 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||
При x 4 |
0 |
4 |
1 |
(4 |
|
x |
1 |
|
|
2 |
|
|
4 |
0 |
1 |
16 |
8 1. |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
: F(x) |
0dt |
t)dt 0dt 0 |
4t t |
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||
|
|
0 |
8 |
|
|
4 |
8 |
|
2 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|||||
Следовательно, функция распределения имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при x 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
F(x) |
|
4x |
|
|
|
|
|
при 0 x 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при x 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Найдем числовые характеристики случайной величины X : |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
M (X ) b x f (x)dx 4 1x(4 x)dx |
|
1 |
4 (4x x2 )dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4x2 |
|
|
|
x3 |
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
64 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
b |
2 |
f (x)dx |
M |
(X ) |
2 |
|
|
|
4 |
1 |
x |
2 |
(4 x)dx |
|
4 2 |
|
1 |
4 |
|
|
2 |
3 |
)dx |
16 |
|
||||||||||||||||||||||||||
D(X ) x |
|
|
|
|
8 |
|
|
3 |
|
|
8 |
(4x |
|
x |
9 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
4x3 |
|
x4 |
|
|
4 |
|
16 |
|
1 |
|
|
|
256 |
|
256 |
|
|
16 |
|
8 |
|
16 |
|
8 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
8 |
3 |
4 |
|
9 |
|
8 |
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
9 |
|
3 |
|
9 |
9 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(X ) |
D(X ) |
8 |
0,94 . |
|
|
9 |
|
Вычислим P( 1 X 3) , используя функцию распределения:
P( 1 X 3) F(3) F( 1) |
1 |
|
4 |
3 |
|
2 |
|
0 |
|
15 . |
|
3 |
|
||||||||
|
8 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
16 |
2.5. Нормальный закон распределения
Случайная величина X распределена по нормальному закону, если ее
плотность распределения вероятностей задается функцией
|
1 |
e |
( x a)2 |
|
f (x) |
2 2 , |
|||
2 |
||||
|
|
|
где a и - параметры распределения, a , 0 .
Нормально распределенную величину с параметрами a и обозначают
X N (a; ) .
Параметры a и нормально распределенной случайной величины являются ее математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением соответственно, т.е.
M (X ) a , (X ) .
Вероятность того, что случайная величина X , распределенная по нормальному закону с параметрами a и , примет значения, лежащие в интервале ( ; ) , находится по формуле
|
a |
|
a |
, |
||
P( X ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где (x) - функция Лапласа (см. п. 1.6.4.).
Вероятность того, что случайная величина X , распределенная по нормальному закону с параметрами a и , примет значения, лежащие в симметричном относительно a интервале (a ;a ) , находится по формуле
P( |
|
X a |
|
|
|
|
|
||||
|
|
) 2 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правило трех сигм: для случайной величины, распределенной по нор-
29
мальному закону, можно практически достоверно утверждать, что ее значения отклоняются по модулю от математического ожидания не более чем на три средних квадратических отклонения, т.е.
P( X a 3 ) 0,9973 1.
Пример 2.5. На станке изготавливается деталь. Ее длина X - случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами a 23,5см и
1,7 см. Найти вероятность того, что длина детали заключена между 23 см и
25 см. Какое отклонение длины детали от a можно гарантировать с вероятностью 0,95? В каких пределах лежит практически длина любой детали?
Решение. Длина детали X - случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами a 23,5см и 1,7 см. Тогда вероятность
того, что длина детали заключена между 23 см и 25 см, найдем по формуле
25 23,5 |
|
23 23,5 |
|
0,88 0,29 |
||
P(23 X 25) |
1,7 |
|
|
1,7 |
|
|
|
|
|
|
|
||
0,88 0,29 0,3106 0,1141 0,4247.
Для того, чтобы найти отклонение длины детали от a , гарантированное с вероятностью 0,95, используем формулу
P( |
|
X a |
|
|
|
|
|
||||
|
|
) 2 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Намтребуетсянайти , для которого вероятность P( X a ) 0,95 , т.е.
2 |
|
0,95; |
|
|
|
|
0,475; |
|
|
1,96; |
3,332 . |
|
1,7 |
1,7 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Это означает, что с вероятностью 0,95 можно гарантировать отклонение длины детали от a менее чем на 3,332 см.
Учитывая правило трех сигм, длина практически любой детали лежит в интервале (a 3 ;a 3 ) . Так как 3 3 1,7 5,1, то искомый интервал –
(18,4; 28,6) .
30