1.2. Аналитические решения для примеров простой составной балки

Будем искать решение для простой шарнирно опертой составной балки пролетом ℓ, которая нагружена сосредоточенной силой P, приложенной в середине пролета, и равномерно распределенной по всей длине суммарной нагрузкой q=q₁+q₂. Функция изгибающего момента M для левой части данной балки является степенным рядом

(16)

коэффициенты которого равны:

(17)

Решение дифференциального уравнения (13-1) при правой части (16) имеет вид

(18)

Подставляя решение (18) и функцию (16) в уравнение (13-1), получим равенство

(19)

которое обращается в тождество при условиях:

(20)

Из условий (20) находим коэффициенты B_i:

(21)

Из граничных условий на функцию T находим коэффициенты C_i:

(22)

Подставляя функции (16), (18) в (13-2) и дважды интегрируя, получим функцию прогибов:

(23)

Из граничных условий на функцию v находим постоянные интегрирования D_i:

(24)

Таким образом, аналитическое решение для данного примера составной балки находится в следующей последовательности:

– определение констант α, β, γ, λ, A_i, B_i, C_i, D_i, по формулам (14), (17), (21), (22), (24);

– нахождение основных неизвестных функций T и v по формулам (18), (23);

– определение оставшихся функций усилий t, N_i, Q_i, M_i по формулам (15).

Ввиду громоздкости выражений, получаемых в результате данных действий, ниже приводятся только максимальные значения основных функций T и v, которых они достигают в середине пролета балки. При этом заданная нагрузка разделяется на два типовых случая:

а) сосредоточенная сила, приложенная в середине пролета (P≠0, q=0)

(25)

б) равномерно распределенная по всей длине нагрузка (P=0, q≠0)

(26)

1.3. Коэффициент совместности перемещений накладной плиты и балки

Ранее отмечалась сложность непосредственного определения жесткостных параметров шва между накладной плитой и балками, применительно к теории составной балки – коэффициента жесткости шва ξ или связанного с ним соотношением (14) коэффициента λ. Для расчетчика более удобно задавать некоторый безразмерный коэффициент совместности перемещений накладной плиты и балки K_s (параметр Ks_nap в исходных данных программы GBMost-DP), изменяющийся в интервале от нуля (отсутствие совместности) до единицы (полная совместность).

Данный коэффициент совместности можно интерпретировать как относительное снижение максимального суммарного сдвигающего усилия в шве за счет уменьшения коэффициента жесткости шва, что будет соответствовать математической записи

(27)

Подставив приведенные в (25-1), (26-1) выражения для T_max в (27), получим коэффициенты совместности для рассмотренных выше примеров:

(28)

Из формулы (28) видно, что функция изменения коэффициента совместности K_s зависит от характера нагрузки на составную балку и, как следствие, от функции изгибающего момента M. При этом реальная расчетная нагрузка на балки пролетного строения моста включает в себя как собственный вес, соответствующий случаю q≠0 , так и автомобильную нагрузку, близкую к случаю P≠0. Поэтому при разработке программы GBMost-DP в качестве исходной функции изгибающего момента была принята полуволна синусоиды:

(29)

эпюра которой при равенстве максимальных ординат занимает промежуточное положение между эпюрами моментов для рассмотренных выше случаев.

Общее решение дифференциального уравнения (13-1) при правой части (29) имеет тот же синусоидальный вид:

(30)

Подстановка (30), (29) в уравнение (13-1) приводит к тождеству при условии

(31)

Подставив далее (31) в (27), найдем новое выражение коэффициента совместности

(31)

из которого, решив обратную задачу и учитывая (14), определим коэффициент жесткости шва ξ:

(32)

Программа GBMost-DP предоставляет пользователю на выбор возможность задавать коэффициент совместности K_s с автоматическим вычислением коэффициента жесткости шва ξ по формулам (32) или задавать последний коэффициент непосредственно.