1. Аналитические решения для составной балки по теории Ржаницына

1.1. Дифференциальные уравнения составной балки

Для получения аналитических решений можно использовать наиболее близкую по допущениям теорию составного стержня Ржаницына [1], а точнее ее частный случай – теорию составной балки из двух составляющих стержней. Данные стержни соединяются друг с другом распределенными по длине упругими связями сдвига в плоскости шва и абсолютно жесткими поперечными связями, обеспечивающими равенство функций прогибов составляющих стержней. Бесконечно малый элемент составной балки с указанием перемещений и действующих на каждый составляющий стержень усилий показан на рис. 1.

Не вдаваясь в подробности вывода уравнений в [1], сделанного Ржаницыным для общего случая теории составного стержня, и незначительно скорректировав его обозначения, запишем три группы исходных дифференциальных уравнений для составной балки.

Рис. 1. Бесконечно малый элемент составной балки:

а) эпюра продольных перемещений; б) равновесие накладной плиты и балки

Уравнения равновесия (см. рис. 1, б):

(1)

где i=1,2 – номер составляющего стержня, причем накладной плите соответствуют i=1 и верхний знак «–» в формулах, а балке – i=2 и нижний знак «+» в формулах; N_i, Q_i, M_i – продольные и поперечные силы и изгибающие моменты в поперечных сечениях составляющих стержней; t, s – погонные усилия в упругих связях сдвига в плоскости шва и в жестких поперечных связях между составляющими стержнями; n_i, q_i, m_i – продольные, поперечные и моментные погонные нагрузки на составляющие стержни; a_i – расстояния от шва до центров тяжести поперечных сечений составляющих стержней (см. рис. 1, а).

Физические уравнения:

(2)

где F_i, J_i, E_i – площади и моменты инерции поперечных сечений составляющих стержней и их модули упругости; ε_0i, µ – относительные деформации продольных волокон в уровне центров тяжести сечений и деформация изгиба; ξ, Γ – коэффициент жесткости шва и его абсолютный сдвиг (см. рис. 1, а).

Геометрические уравнения (см. рис. 1, а):

(3)

где u_0i, u_Si – продольные перемещения составляющих стержней в уровне центров тяжести поперечных сечений и шва; ε_Si, v – относительные деформации продольных волокон в уровне шва и прогиб составной балки.

Из геометрических уравнений (3) имеем

(4)

где a – расстояние между центрами тяжести поперечных сечений составляющих стержней (см. рис. 1,а).

Подставляем в (4-1) физические уравнения (2-1, 3):

(5)

Приведем усилия N_i, Q_i, M_i, действующие в поперечных сечениях составляющих стержней, к равнодействующим усилиям N, Q, M, приложенным к общему центру тяжести монолитного сечения (см. рис. 1, б):

(6)

где b₁, b₂ – привязки центра тяжести монолитного сечения (см. рис. 1, б), равные

(7)

Здесь F, E – площадь сечения составной балки и приведенный модуль упругости.

Подставляем привязки (7) и физические уравнения (2-2) с учетом (3-4) в (6-3):

(8)

где J – момент инерции сечения составной балки, соответствующий суммарной изгибной жесткости EJ составляющих стержней и равный:

(9)

Интегрируем уравнение равновесия (1-1) на участке балки от нуля до x:

(10)

где T – суммарное сдвигающее усилие в шве на данном участке, равное

(11)

Полагаем, что продольные погонные нагрузки на составляющие стержни балки отсутствуют: n_i=0. Тогда, подставив (10) с учетом (11) в (5), (8), найдем:

(12)

Исключив из (12-1) с использованием (12-2) функцию прогибов v, получим в окончательном виде разрешающую систему дифференциальных уравнений составной балки относительно неизвестных функций T и v:

(13)

где для сокращения записи введены коэффициенты:

(14)

Отметим, что система уравнений (13) с учетом коррекции обозначений полностью идентична формулам (7.32) в [1], полученным Ржаницыным для составной балки из общей теории составного стержня.

Для статически определенной балки функция равнодействующего изгибающего момента M (M⁰ в обозначениях Ржаницына) в правой части системы уравнений (13) находится элементарно и ее можно считать известной, а значит, из данной системы с учетом необходимых граничных условий однозначно определяются и неизвестные функции T и v. Остальные усилия находятся в следующей последовательности по формулам, следующим из (11), (10), (2-2) и (13-2), (1-3):

(15)

Функция погонного усилия s в жестких поперечных связях между составляющими стержнями может быть определена из (1-2), но в практических расчетах она обычно не используется и здесь не приводится.