2.2. Особенности электромагнитных волн

Предварительно покажем, что из уравнений Максвелла следует возможность существования связанных между собой, изменяющихся во времени и пространстве вихревых, электрических и магнитных полей даже при отсутствии источников, т.е. при для свободных зарядов. Такие поля и представляют собой электромагнитные волны в вакууме.

Используя векторный дифференциальный оператор «набла», запишем уравнения Максвелла для рассматриваемого случая:

∇ ), (2.7)

(2.8), . (2.9)

Выполняя ряд дифференциально-векторных операций, получим два волновых уравнения:

(2.10), (2.11), полагая, что E и H зависят только одной пространственной координаты (плоская волна). Решения уравнений будут иметь вид функций, зависящих от аргумента :

Знак «-» соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении , знак «+» –отрицательном(обратном). Поскольку роторы не равны нулю, поля волны являются вихревыми. Скорость распространения волны в вакууме равна «с».

Теперь рассмотрим свойства монохроматической волны

, (2.12)

бегущей в изотропной, однородной среде вдоль положительного направления оси .

Пусть ε и μ – электрическая и магнитная проницаемости среды. При этом будем считать, что условия(2.6) и (2.8), по-прежнему, выполняются. В этих условиях роторные уравнения Максвелла имеют вид:

(2.13), (2.14).

Из совокупности уравнений (2.6),(2.8) и (2.13),(2.14) следуют волновые уравнения для и :

, или (2.15), (2.16), где , с – скорость света в вакууме. Из (2.15) и (2.16) видно, что фазовая скорость волны в рассматриваемой среде равна . Величина принимается за показатель преломления «n» среды:

, . (2.17)

Представим выражение (2.12) в показательной (комплексной) форме

, (2.18), где , и подставим (2.18) в уравнения (2.6), (2.8), (2.13) и (2.14). В результате получим систему условий:

(2.19), (2.20)

(2.21), (2.22)

Из формул (2.19) – (2.22) сразу следует свойство поперечности электромагнитных волн: из уравнений (2.19) и (2.20) видно, что векторы перпендикулярны направлению волны (вектору ), а из уравнений (2.21) и (2.22) – что векторы ортогональны друг другу и образуют вместе с вектором

Рис. 2.1 правую тройку векторов (рис. 2.1).

Подставим из уравнения (2.22) в (2.21) и учитывая условие , получим

, (2.23)

т.е. , где . (2.24)

Для вакуума

В электромагнитной волне модули векторов E и H связаны между собой. Если (2.24) подставить в уравнение (2.21) или в (2.22), получим соотношение

(2.25)

или (2.26)

где В – магнитная индукция.

Для вакуума .

Вернемся к волновым уравнениям (2.15) и (2.16). функции вида

удовлетворяют соответствующим волновым уравнениям. Однако эти функции на основании соотношения (2.25) удовлетворяют уравнениям Максвелла в том случае, если , т.е. разности фаз между колебаниями векторов нет.

Итак, плоскую монохроматическую волну, бегущую в изотропной, однородной плоскости, для которой ε и μ не зависят соответственно от полей , можно охарактеризовать уравнениями:

, (2.27)

(2.28)

Отметим, что амплитудные значения колеблющихся векторов и начальная фаза плоской, монохроматической волны, как это следует из (2.27) и (2.28), не зависят от , т.е. одинаковы во всем пространстве во все моменты времени. Ни какие реальные волны этим свойством не обладают, поэтому образ плоской монохроматической волны представляет идеализацию. Условия применимости этой идеализации требуют специального рассмотрения при решении той или иной задачи. Однако необходимо заметить, изученные свойства плоской монохроматической волны важны еще и потому, что любая электромагнитная волна может быть представлена в виде суперпозиции таких простых волн (благодаря линейности уравнений Максвелла сумма любых решений также является решением уравнений).

У сферических волн поверхности постоянной фазы представляют собой концентрические сферы. В отличие от плоской волны, амплитуда которой всюду одинакова, амплитуда сферической волны обратно пропорциональна расстоянию до центра. Уравнение сферической волны , распространяющейся в изотропной, однородной, непоглощающей среде имеет вид

Небольшой участок сферической волны вдали от её центра можно приближенно рассматривать как плоскую волну. Поэтому рассмотренные выше свойства плоских волн (фазовая скорость, поперечность, соотношение между ) локально (т.е. в каждой точке) справедливы и для сферических волн.

На основании выше изложенного сделаем следующие выводы:

1. Электромагнитное поле может существовать в отрыве от зарядов и токов, его создающих, в виде электромагнитных волн. В вакууме электромагнитные волны распространяются со скоростью света «c». В среде (изотропной, электрически нейтральной, непроводящей, неферромагнитной) фазовая скорость волны , где (2.30)

2. В изотропной среде векторы и волны взаимоперпендикулярны и образуют правовинтовую систему. Правовинтовое соотношение является внутренним свойством электромагнитной волны, не зависящей от системы координат.

3. Между модулями векторов волны в непроводящей среде существует связь

y

z

x

Рис. 2.2

Отсюда следует, что векторы колеблются в одинаковых фазах. На рис. 2.2 показан отрезок волны, соответствующий некоторому моменту . В проводящей среде (или наличии проводящих поверхностей) между колебаниями векторов волны возникает разность фаз. Далее рассмотрим вопросы энергии, импульса, давления электромагнитных волн и др.