1 .4. Работа электрических сил при перемещении заряда в поле. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля

Определим работу А, которая совершается силой F электростатического поля неподвижного, например, положительного точечного заряда q над положительным пробным зарядом q_пр, перемещающимся в этом поле, напряженность которого Е, из точки 1, положение которой по отношению к заряду q определяется радиус-вектором r₁, в точку 2, положение которой определяется радиус-вектором r₂ (рис. 7).

В общем случае, независимо от того, что является причиной движения пробного заряда от точки 1 до точки 2 по траектории, длина которой равна L, элементарная работа, совершаемая силой F на отрезке пути dL, по определению, равна

dA = (F,dL) = F∙dL∙cosα = q_пр∙E∙dL∙cosα = q_пр∙E∙dr = q_пр∙ ∙dr,

где Е = F/q_пр – напряженность электростатического поля в данной точке пространства, положение пробного заряда q_пр в котором определяется радиус-вектором r; так как в нашем случае на движущийся пробный заряд действует электростатическая сила отталкивания, то угол α – это угол между вектором силы F (или Е, так как векторы F и Е направлены в одну сторону) и элементарным перемещением пробного заряда dL; dr = dL·cosα – приращение радиуса-вектора r.

Из полученного соотношения для элементарной работы получается:

dA = q_пр ∙E∙dr = F∙dr

откуда следует, что работа производится только на участке dr вдоль действия силы F. Полная работа электрических сил поля на протяжении всего пути от точки 1 до точки 2 равна:

А = = = = - ( ),

Работа A не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной и конечной точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы — консервативными.

Таким образом, работа перемещения заряда в электростатическом поле по любому замкнутому контуру L равна нулю:

Если переносимый заряд единичный, то элемен­тарная работа сил поля на пути dL равна ЕdL. Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности по заданному замкнутому контуру L.

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля: циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

Силовое поле, обладающее таким свойством, называется потенциальным. Эта формула справедлива только для электричесого поля неподвижных зарядов (электростатического).

1.5. Потенциальная энергия заряда в электростатическом поле. Потенциал электростатического поля. Разность потенциалов

В потенциальном поле тела обладают потенциальной энергией и работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии. Поэтому, работу А можно представить как разность потенциальных энергий заряда q_пр в начальный и конечной точках поля заряда q:

.

Потенциальная энергия заряда q_пр, находящегося в поле заряда q на расстоянии r от него равна

Считая, что при удалении заряда на бесконечность, потенциальная энергия обращается в нуль, получаем: const = 0.

Для одноименных зарядов потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна, для разноименных зарядов потенуиальная энергия их взаимдействия (притяжения) отрицательна.

Если поле создается системой n точечных зарядов, то потенциальная энергия заряда q_пр, находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

По аналогии с напряженностью электрического поля, можно ввести скалярную величину φ = W_п/q_i , называемую электрическим потенциалом поля, которая не зависит от величины q_i и характеризует только свойства электрического поля в данной точке. Множество значений потенциала в разных точках электрического поля образуют скалярное поле – поле, которое описывается скалярной функцией (или скалярной физической величиной), не меняющейся при повороте всей системы.

Электрический потенциал – это энергетическая характеристика электрического поля, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля. В СИ единицей электрического потенциала служит: Дж/Кл = Кл/м = В.

Выразим значение работы электростатического поля через разность потенциалов. Учитывая, что потенциальная энергия взаимодействия пробного заряда с источником поля в данной точке равна W_п = q_пр∙φ, можно написать уравнение для работы электрических сил в виде:

A = - q_пр∙ (φ₂ – φ₁) = q_пр∙ (φ₁ – φ₂) = q_пр∙ U,

где сомножитель уравнения φ₁ – φ₂ = U представляет собой разность потенциалов, которую иначе называют напряжением. Напряжение это величина, которая позволяет рассчитать величину энергии, отдаваемой зарядом в электрической цепи. Если пробный заряд, внесенный в поле, удаляется из точки с потенциалом φ₁ в бесконечность, где при r→ потенциал φ₂ → 0, то получается, что работа электрических сил поля равна

А = q_пр ∙ φ₁,

откуда следует, что потенциал, например в точке поля 1, φ₁ = А/q_пр численно равен работе сил поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки поля в бесконечность.

Величина потенциальной энергии заряженного тела определяется уровнем потенциальной энергии. Уровнем потенциальной энергии заряженного тела называется плоскость, поверхность или линия, относительно которой рассматривается величина потенциальной энергии заряженного тела. Любой произвольно выбранный уровень, относительно которого потенциальная энергия заряженного тела равна нулю, называют нулевым уровнем. Часто за нуль потенциала принимается не значение его в бесконечности, а значение потенциала Земли. Однако, это несущественно, так как во всех практических расчетах важно знать разность потенциалов между двумя точками электростатического поля, а не абсолютные значения потенциалов в этих точках.

Эквипотенциальной областью (объемом, поверхностью, линией) называется геометрическое место точек в электростатическом поле, имеющих одинаковый потенциал φ(x, y, z) = const. В любой точке эквипотенциальной области вектор напряженности электростатического поля перпендикулярен (нормален) к ней и направлен в сторону убывания потенциала.