3.Магнитное поле в веществе. Энергия магнитного поля Основные законы и формулы

• Намагниченность (вектор намагничения) измеряется магнитным моментом единицы объема магнетика

где N-число частиц содержащихся в физически бесконечно малом объеме ΔV, -магнитный момент частицы.

• Вектором напряженности магнитного поля называется линейная комбинация векторов

• Векторы магнитной индукции и напряженности связаны соотношением

где μ –магнитная проницаемость среды (для вакуума μ=1)

• Циркуляция вектора напряженности вдоль замкнутого контура l равна алгебраической сумме токов охваченных контуром

• Магнитная индукция внутри длинного соленоида с магнитным сердечником

где n- число витков, приходящихся на единицу длины соленоида, I – сила тока, протекающего по нему, – магнитная проницаемость вещества сердечника.

• Индуктивность длинного соленоида объёмом V с магнитным сердечником

• Энергия магнитного поля тока I в контуре, обладающем индуктивностью L

• Объемная плотность энергии магнитного поля (энергия, отнесенная к единице объема)

• Магнитное поле тороида, сердечник которого составлен из двух частей, изготовленных из веществ с различными магнитными проницаемостями

а) магнитная индукция на осевой линии тороида

где I- сила тока в обмотке , N- число её витков, l₁ и l₂ – длины первой и второй частей сердечника, , – магнитные проницаемости веществ первой и второй частей сердечника, - магнитная постоянная;

б) напряженность магнитного поля на осевой линии тороида в первой и второй частях сердечника

• Связь между магнитной индукцией поля в ферромагнетике и напряженностью намагничивающего поля выражается графически (рис. 3.1).

П римеры решения задач

1. Тороид с железным ненамагниченным сердечником, длина которого по средней линии м, имеет воздушный зазор мм (рис. 3.2). По обмотке тороида, содержащей витков, пустили ток, в результате чего индукция в зазоре стала Тл. Определить силу тока.

Решение

Поскольку в задаче идет речь о магнитной цепи, применим теорему о циркуляции вектора _. Через любое поперечное сечение нашего тороида, в том числе и через сечение, взятое в воздушном зазоре, проходит один и тот же магнитный поток . Так как площадь любого сечения одна и та же, то одинаковы и магнитные индукции в любой точке контура

Тл.

Поскольку магнитные индукции в железе и в воздушном зазоре одинаковы, а магнитные проницаемости этих веществ разные, то напряженности магнитного поля в железе и зазоре различны. Поэтому, применив теорему о циркуляции вектора к контуру , запишем

где - напряженности магнитного поля в железе и зазоре.

Так как для воздуха , то

Величину найдем по графику намагничивания (рис. 3.1), выражающему зависимость между величинами в железе

Теперь, используя теорему о циркуляции вектора напряженности, получим для силы тока

2. На стальном ненамагниченном кольце (торе), средний диаметр которого d =30 см и площадь поперечного сечения

S =1,6 см², имеется обмотка, содержащая N =800 витков (рис. 3.3). Когда по обмотке пустили ток силой I =1,80A , баллистический гальванометр Б.Г. дал отброс, соответствующий заряду q =0,24 мКл, прошедшему через прибор. Зная, что сопротивление цепи гальванометра R =0,80 Ом, определить напряженность поля H и магнитную индукцию B внутри кольца, а также магнитную проницаемость стали при заданном токе в обмотке. Считать зависимость B от H для данного сорта стали неизвестной.

Решение

Когда по обмотке тороида пойдет ток, в стальном кольце возникнет магнитное поле, замкнутые линии индукции которого будут проходить вдоль кольца. Это поле явится результатом наложения двух полей: тока и теперь уже намагниченного материала кольца. Однако напряженность магнитного поля внутри кольца зависит только от тока в обмотке тороида. Применив теорему о циркуляции вектора , получим

,

откуда

.

Учитывая числовые значения величин d и S, видим, что относительное различие между наружным и внутренним диаметрами кольца мало, поэтому приближенно можно считать, что эта формула выражает величину для всех точек кольца.

Чтобы вычислить магнитную индукцию, воспользуемся связью между величиной В и магнитным потоком Ф внутри тороида

.

При включении тока магнитный поток в тороиде возрос от нуля до значения, равного , что привело к появлению индукционного тока в контуре баллистического гальванометра, сцепленном с магнитным потоком. Заряд , прошедший по этому контуру, и магнитный поток через контур связаны соотношением

.

Таким образом,

.

Теперь, зная величины , легко ответить на остальные вопросы задачи

Выразим в единицах СИ данные величины: d=0,30м, N=800, I=1,80A, q=2,4

Выполнив вычисление, найдем:

3. Постоянный магнит, имеющий форму цилиндра с радиусом и длиной , намагничен однородно в направлении оси. Остаточная намагниченность материала цилиндра равна .

Рассчитать индукцию магнитного поля в вакууме вблизи торцевой поверхности цилиндра. При каком соотношении радиуса цилиндра и его длины значение индукции магнитного поля вблизи торцевой поверхности будет максимальным?

Р ешение

В каждой точке поперечного сечения внутри стержня смежные молекулярные токи текут в противоположные стороны, так что их совместное действие равно нулю. Некомпенсированными будут лишь молекулярные токи, выходящие на боковую поверхность цилиндра. Обозначим линейную плотность этого тока через j. Очевидно, что цилиндр, обтекаемый током, подобен соленоиду с числом ампер-витков равным nI. Таким образом,

Выделим мысленно в стержне перпендикулярный к оси слой . Молекулярные токи, заключенные в этом слое эквивалентны круговому току Магнитный момент этого тока равен

где - площадь поперечного сечения стержня.

Разделив на объем слоя , получим для намагниченности стержня следующее выражение

Таким образом, намагниченность стержня совпадает с линейной плотностью тока.

Индукция магнитного поля в точке О (рис. 3.4) на оси соленоида с поверхностной плотностью витков n определяется по формуле

Учитывая, что , получим

,

где (рис. 3.4).

Таким образом, индукция магнитного поля в точке О равна

Магнитное поле в точке О тем больше, чем меньше отношение .

4. После выключения тока в обмотке тороида (см. задачу 2) остаточная индукция в зазоре стала В=4,2 мТл. Определить остаточную намагниченность сердечника, а также напряженность Н₁ поля в железе.

Решение

Было бы ошибкой воспользоваться для отыскания величины H₁ кривой намагничивания железа, как это было сделано в задаче 2. Состояние железа, в котором оно рассматривается в данной задаче, возникло в результате неполного размагничивания железа. Вследствие явления магнитного гистерезиса кривые намагничивания и размагничивания железа не совпадают.

Единственно правильный путь решения задачи состоит в применении теоремы о циркуляции вектора . Повторив рассуждения, приведенные в задаче 2, получим то же соотношение. Но теперь , поэтому

По-прежнему величины Н_2, В в воздушном зазоре связаны соотношением

.

Подставив это значение Н₂ в первое уравнение получим, напряженность магнитного поля в железе

Знак "-" в формуле показывает, что векторы и в намагниченном железе при отсутствии тока в обмотке направлены противоположно (соответствующие участки петли гистерезиса лежат во второй и четвертой четвертях). Определим остаточную намагниченность железа из соотношения

или учитывая противоположные направления и , запишем в скалярной форме

Подставив вместо Н₁ его абсолютное значение, найдем

Выполнив вычисление, получим:

5. Сердечник электромагнита в форме подковы изготовлен из листового железа. Полюса электромагнита замкнуты элементом того же сечения, изготовленным тоже из листового железа. Ширина воздушного зазора между этими элементами равна 0,1 см. Длина средней линии сердечника и замыкающего элемента равна 40 см. По обмотке электромагнита содержащей N=500 витков, течет ток I=4А. Рассчитать индукцию магнитного поля в воздушном зазоре.

Зависимость магнитной проницаемости железа от индукции магнитного поля В в сердечнике дана графиком (рис. 3.5)

Решение

Применим теорему о циркуляции вектора

,

где напряженности магнитного поля в железе и зазоре.

В формуле отражено то, что система имеет два воздушных зазора.

Учитывая, что в любом сечении сердечника индукция магнитного поля одинакова, запишем

и ,

где - магнитная проницаемость железа.

Теперь из теоремы о циркуляции получим для силы тока

Используя график зависимости (рис.3.5) найдем из полученного уравнения значения для заданных и . Полученные данные занесем в таблицу.

Таблица 1

B (Tл)	0.5	1.0	1.25	1.5	1.6
µ ∙103	6.5	4.0	2.0	0.7	0.5
I (A)	0.85	1.75	2.39	3.75	4.60

И спользуя табличные данные, построим график зависимости , и для найдем соответствующее значение индукции магнитного поля в воздушном зазоре, которая равна Тл. (рис.3.6).

6. Индукция магнитного поля в вакууме вблизи плоской поверхности однородного изотронного магнетики равна , причем вектор составляет угол с нормалью к поверхности. Магнитная проницаемость магнетика . Найти индукцию магнитного поля в магнетике вблизи поверхности.

Решение

Запишем основные соотношения между нормальными и тангенцальными составляющими индукции в вакууме и магнетике

Использую условия на границе раздела магнетиков

н айдем и .

(рис. 3.7) и

(рис.3.7)

Таким образом,

.

7. Прямой бесконечно длинный провод с током лежит в плоскости раздела двух непроводящих сред с магнитными проницаемостями и . Найти модуль вектора индукции магнитного поля во всем пространстве в зависимости от расстояния до провода. Иметь в виду, что линии вектора являются окружностями с центром на оси проводника.

Решение

Применим теорему о циркуляции вектора по контуру, имеющему вид окружности радиусом с центром на оси проводника

где и - напряженности магнитного поля в магнетиках с магнитной проницаемостью и , соответственно, а - длина полуокружности.

Так как на границе раздела магнетиков в нашем случае

то

и ,

и выражение циркуляции вектора примет вид

8. По обмотке тороида с ненамагниченным железным сердечником пустили ток силой 0,60 А. Витки провода диаметром мм с весьма тонкой изоляцией плотно прилегают друг к другу. Определить индуктивность тороида при данных условиях, а также энергию магнитного поля в сердечнике, если площадь его сечения см², а диаметр средней линии см.

Решение

Учитывая числовые значения видим, что длина средней линии тороида значительно превышает диаметр его витков. Поэтому индуктивность можно рассчитать, рассматривая данный тороид как длинный соленоид, согнутый в кольцо. Тогда, используя геометрические соотношения, получим

Так как , найдем величины характеризующие магнитное поле в сердечнике. Напряженность магнитного поля внутри тороида уже была вычислена в задаче 2. В данном случае

По кривой намагничивания железа (рис.3.1) находим магнитную индукцию в сердечнике

В=1,35 Тл.

Теперь поскольку все величины и уже известны, запишем первый ответ

.

Зная, индуктивность тороида и силу тока в обмотке найдем, энергию магнитного поля:

Подставляя в полученные формулы числовые значения всех величин, выраженные в единицах СИ, получим

L=2,1 Гн, W =0,4 Дж

9. По обмотке длинного соленоида со стальным сердечником течет ток А. Определить объемную плотность энергии магнитного поля в сердечнике, если число витков на каждом сантиметре длины соленоида равно 7 см ^-1

Решение

Объемная плотность энергии магнитного поля определяется по формуле

Напряженность магнитного поля найдем по формуле Подставив сюда значения n и I, найдем А/м.

Магнитную индукцию определим по графику зависимости от ( рис.3.1). Находим, что напряженности А/м соответствует магнитная индукция Тл.

Произведя, вычисление по формуле найдем объемную плотность энергии

= 840 Дж/м³.