- •ЭЛектромагнитная индукция и магнитное поле в веществе
- •ЭЛектромагнитная индукция и магнитное поле в веществе
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
- •ЭЛектромагнитная индукция и магнитное поле в веществе
- •Электромагнитная индукция Основные законы и формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.Магнитное поле в веществе. Энергия магнитного поля Основные законы и формулы
- •П римеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
- •Содержание
- •3. Магнитное поле в веществе.Энергия магнитного
Задачи для самостоятельного решения
Электродвижущая сила индукции
1. Прямой провод длиной l=10см помещен в однородное магнитное поле с индукцией В=1Тл. Концы его замкнуты гибким проводом, находящимся вне поля. Сопротивление R всей цепи равно 0,4 Ом. Какая мощность Р потребуется для того, чтобы двигать провод перпендикулярно линиям индукции со скоростью v=20м/с ?
Ответ: Р=10Вт
2. К источнику тока с ЭДС и ничтожно малым внутренним сопротивлением присоединены два металлических стержня, расположенных горизонтально и параллельно друг другу. Расстояние l между стержнями равно 20см. Стержни находятся в однородном магнитном поле, направленном вертикально. Магнитная индукция В=1,5Тл. По стержням под действием сил поля скользит со скоростью v=1м/с прямолинейный провод сопротивлением R=0,02Ом. Сопротивление стержней пренебрежимо мало. Определить:
1) ЭДС индукции ; 2) силу F, действующую на провод со стороны поля; 3) силу тока I в цепи; 4) мощность , расходуемую на движение провода; 5) мощность , расходуемую на нагревание провода; 6) мощность , отдаваемую в цепь источника тока.
Ответ: ; ; ; ; ;
3. В однородном магнитном поле с индукцией В=0,4Тл в плоскости, перпендикулярной линиям индукции поля, вращается стержень длиной l=10см. Ось вращения проходит через один из концов стержня. Определить разность потенциалов U на концах стержня при частоте вращения .
Ответ:
4. Рамка площадью равномерно вращается с частотой относительно оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля (В=0,2 Тл). Каково среднее значение ЭДС индукции за время, в течение которого магнитный поток, пронизывающий рамку, изменится от нуля до максимального значения?
Ответ:
5. В однородном магнитном поле с индукцией В=0,35Тл равномерно с частотой вращается рамка, содержащая N=500 витков площадью . Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Определить максимальную ЭДС индукции , возникающую в рамке.
Ответ:
6. Магнитная индукция В поля между полюсами двухполюсного генератора равна 0,8 Тл. Ротор имеет N=100 витков площадью . Определить частоту n вращения якоря, если максимальное значение ЭДС индукции .
Ответ: n = 600мин-1
7. Короткая катушка, содержащая N=1000 витков, равномерно вращается в однородном магнитном поле с индукцией В=0,04Тл с угловой скоростью относительно оси, совпадающей с диаметром катушки и перпендикулярной линиям индукции поля. Определить мгновенное значение ЭДС индукции для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол с линиями индукции поля. Площадь S катушки равна 100 .
Ответ:
Количество электричества, протекающее в контуре при изменении магнитного потока
8. Между полюсами электромагнита помещена катушка, соединенная с баллистическим гальванометром. Ось катушки параллельна линиям индукции. Катушка сопротивления имеет N=15 витков площадью . Сопротивление гальванометра равно 46 Ом. Когда ток в обмотке электромагнита выключили, по цепи гальванометра протекло количество электричества Q=90 мкКл. Вычислить магнитную индукцию В поля электромагнита.
Ответ: В=1,5Тл
9. Рамка из провода сопротивление R=0,01Ом равномерно вращается в однородном магнитном поле с индукцией В=0,05Тл. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Площадь S рамки равна
. Найти, какое количество электричества Q протечет через рамку за время поворота ее на угол в следующих трех случаях: 1) от до ; 2) от до ; 3) от
Ответ: 1)
2)
3)
10. Тонкий медный провод массой m=1г согнут в виде квадрата, и концы его замкнуты. Квадрат помещен в однородное магнитное поле (B=0,1 Тл) так, что плоскость его перпендикулярна линиям индукции поля. Определить количество электричества Q, которое протечет по проводнику, если квадрат, потянув за противоположные вершины, вытянуть в линию.
Ответ: (D – плотность меди.)
11. На расстоянии =1м от длинного прямого провода с током I=1кА находится кольцо радиусом r=1см. Кольцо расположено так, что поток, пронизывающий его, максимален. Определить количество электричества Q, которое протечет по кольцу, когда ток в проводнике будет выключен. Сопротивление R кольца 10Ом.
Указание. Поле в пределах кольца считать однородным.
Ответ:
12. По длинному прямому проводу течет ток. Вблизи провода расположена квадратная рамка из тонкого провода сопротивлением R=0,02Ом. Провод лежит в плоскости рамки и параллелен двум ее сторонам, расстояние до которых от провода соответственно равны , . Найти силу тока I в проводе, если при его включении через рамку протекло количество электричества Q=693 мкКл.
Ответ: кА
2. САМОИНДУКЦИЯ И ВЗАИМОИНДУКЦИЯ.
ИНДУКТИВНОСТЬ
Основные законы и формулы
Электродвижущая сила самоиндукции , возникающая в замкнутом контуре при изменении силы тока в нём
, или ,
где L – индуктивность контура.
Потокосцепление контура ,
где L – индуктивность контура.
Индуктивность соленоида (тороида)
Примеры решения задач
1. Используя условие задачи 6 главы 4 [4] рассчитать индуктивность данного тороида.
Решение
Магнитный поток через поперечное сечение тороида (см. решение задачи 6 главы 4 [4]).
Индуктивность его найдем следующим образом
, L=ψ/I=NΦ/I,
где L – индуктивность, - потокосцепление.
Таким образом, мГн.
2. Найти индуктивность L длинного соленоида. Число витков на единицу длины равно n, а длина соленоида l.
Решение
Магнитное поле внутри соленоида
где I – ток в обмотке соленоида.
Магнитный поток через все витки ,
где S – площадь поперечного сечения соленоида. С другой стороны .
Таким образом,
3. Найти индуктивность соленоида длины l, обмоткой которого является медная проволока массы m. Сопротивление обмотки R. Диаметр соленоида значительно меньше его длины.
Решение
Используем, найденное в задаче 2, выражение индуктивности соленоида ,
где S – площадь поперечного сечения катушки, N – количество витков, r – радиус витка катушки.
Найдем длину медной проволоки навитой на катушку радиуса r
Таким образом,
Найдем соотношение между длинной проволоки и ее массой
где - плотность меди; - площадь сечения проволоки.
Выразим через известные параметры ,
где - удельное сопротивление меди. .
Таким образом,
и .
Подставим найденное значение в исходную формулу
4. Определить индуктивность L двухпроводной линии на участке длиной l. Радиус провода R. Расстояние между осевыми линиями d.
Решение
Магнитный поток через элементарную площадку шириной dr ( рис.2.1) равен
,
где и - индукции магнитного поля, создаваемые проводниками с токами и , соответственно. Полный поток . Из соображений симметрии и .
Индуктивность двухпроводной линии .
5. Вычислить взаимную индуктивность длинного прямого провода и квадратной рамки со стороной а. Рамка и прямой провод лежат в одной плоскости, причем центр рамки отстоит от провода на расстоянии .
Решение
Элементарный поток через узкую полоску рамки dx, отстоящую на расстоянии x от прямолинейного проводника
. Поток через всю рамку
Коэффициент взаимной индуктивности ,
где I – ток, текущий по прямолинейному проводнику.
6. Определить взаимную индуктивность тороидальной катушки и проходящего по ее оси бесконечного прямого провода. Катушка имеет прямоугольное сечение, ее внутренний радиус , внешний b. Длина стороны поперечного сечения тора, параллельная проводу, равна h. Число витков катушки N. Магнитную проницаемость всюду считать равной единице.
Решение
Как и в предыдущей задаче элементарный магнитный поток через элемент сечения тороида ,
где В – индукция поля, создаваемого прямолинейным провод-ником на расстоянии х, dS- элемент сечения тороида.
Поток через сечение тороида
Так как ,
где I – ток в прямолинейном проводнике, то
7. На тороидальную катушку намотаны две вплотную прилегающие друг к другу системы обмоток с полными числами витков и . Считая радиус одного витка обмотки равным r и радиус тора – R(r R), найти коэффициент взаимной индукции катушки.
Решение
Магнитное поле, создаваемое одной катушкой внутри тора, равно ,
где - ток в обмотке первой катушки. Магнитный поток через все витки второй катушки ,
где S – площадь поперечного сечения тора.
Так как, с другой стороны, известно, что , то
коэффициент взаимоиндукции равен .
8. Две катушки, индуктивности которых равны и , соединены последовательно так, что их магнитные поля направлены в одну сторону; при этом индуктивность всей системы оказалась равной 11мГн. Найти индуктивность системы , если катушки переключить так, чтобы их поля были направлены навстречу друг другу. Взаимное расположение катушек при этом не меняется.
Решение
И ндуктивность системы определяется суммарным потоком сцепления. Первая катушка пронизывается собственным потоком и потоком , создаваемым второй катушкой. Вторая катушка пронизывается также собственным потоком и потоком , созданным первой катушкой. До переключения катушек их поля направлены в одну сторону (рис. 2.2а) и потоки складываются .
После переключения катушек (рис. 2.2б) суммарный поток
сцепления .
Знаки «минус» показывают, что поле первой катушки направлено навстречу собственному полю второй катушки. Тоже самое можно сказать и о потоке, созданном второй катушкой и пронизывающем первую.
Потоки и в данном случае равны друг другу, так как катушки соединены последовательно и, следовательно, обтекаются одинаковым током, т.е.
,
где - коэффициент взаимной индукции.
Собственные потоки могут быть выражены через индуктивности каждой из катушек
Подставляя полученные выражения в формулу для суммарных потоков, получим
Совместное решение этих уравнений даёт результат
.
9. Соленоид с индуктивностью и сопротивлением замыкают на источник ЭДС , внутреннее сопротивление которого ничтожно мало. Какое количество электричества пройдёт через соленоид за первые 5 секунд после замыкания?
Решение
При замыкании соленоида на ЭДС возникает переменный экстраток замыкания, вследствие явления самоиндукции. Элементарное количество электричества, которое пройдёт через соленоид за промежуток времени
.
Отсюда находим количество электричества
1 0. Резистор сопротивлением присоединён к верхним концам двух вертикальных медных стержней, отстоящих на расстоянии друг от друга (рис. 2.3). Стержни замкнуты медной перемычкой массой , которая без трения может скользить по ним. В окружающем пространстве создано однородное магнитное поле с индукцией , перпендикулярное плоскости, в которой расположены стержни. Перемычку опустили, после чего она начала падать без нарушения электрического контакта. Пренебрегая сопротивлением стержней и перемычки, найти установившуюся скорость последней. Принять индуктивность единицы длины системы стержней равной .
Решение
При падении перемычки площадь контура а растёт и магнитный поток сквозь него увеличивается. Согласно закону Фарадея, в контуре появляется ЭДС индукции, вызывающая индукционный ток. Следовательно, на перемычку кроме силы тяжести действует со стороны магнитного поля сила Ампера . Так как для всех элементов перемычки и , то
.
Согласно правилу Ленца, индукционный ток направлен против часовой стрелки и, сила направлена против силы . С ростом скорости падения перемычки увеличивается ЭДС индукции, сила тока , следовательно, сила Ампера . Скорость перестаёт возрастать, когда наступает равновесие между и , т.е.
По закону Ома для замкнутой цепи I=ε/R,
где ε – ЭДС, действующая в контуре abcd и равная сумме
.
Величина - ЭДС индукции, возникающая при изменении сквозь контур магнитного потока вектора . Абсолютное значение равно .
Величина - ЭДС самоиндукции. Она появляется при изменении сквозь контур магнитного потока , созданного индукционным током.
При определении необходимо учитывать, что индуктивность контура – величина переменная
,
где - длина вертикальных стержней, измеренная на участке, по которому идёт ток. При движении перемычки, величины и возрастают.
Таким образом, ЭДС самоиндукции
.
Так как при установившейся скорости падения перемычки и , то
.
Величины и имеют в данном случае противоположные знаки, поскольку соответствующие им магнитные потоки и направлены согласно правилу Ленца, противоположно (при этом оба потока растут по абсолютной величине). Учитывая это, найдём
.
Подставив найденное значение , получим
,
.
Задачи для самостоятельного решения
1. По катушке индуктивностью L=0,03мГн течет ток
I=0,6А. При размыкании цепи сила тока изменяется практически до нуля за время = 120 мкс. Определить среднюю ЭДС самоиндукции , возникающую в контуре.
Ответ:
2. С помощью реостата равномерно увеличивают силу тока в катушке на I=0,1А в 1с. Индуктивность L катушки равна 0,01Гн. Найти среднее значение ЭДС самоиндукции .
Ответ:
3 . Индуктивность L катушки равна 2 мГн. Ток частотой =50 Гц, протекающий по катушке, изменяется по синусоидальному закону. Определить среднюю ЭДС самоиндукции возникающую за интервал времени t, в течение которого ток в катушке изменяется от минимального до максимального значения. Амплитудное значение силы тока =10 А.
Ответ:
4. Катушка сопротивлением =0,5Ом с индуктивностью L=4мГн соединена параллельно с проводом сопротивлением
=2,5Ом, по которому течет постоянный ток I=1А. Определить количество электричества Q, которое будет индуцировано в катушке при размыкании цепи ключом К (рис. 2.4).
Ответ:
5. На картонный каркас длиной = 50 см и площадью S сечения, равной 4 см2, намотан в один слой провод диаметром d=0,2мм так, что витки плотно прилегают друг к другу (толщиной изоляции пренебречь). Вычислить индуктивность L получившегося соленоида.
Ответ:
6. Индуктивность L соленоида длиной =1 м, намотанного в одни слой на немагнитный каркас, равна 1,6 мГн. Площадь S сечения соленоида равна 20 см2. Определить число п витков на каждом сантиметре длины соленоида.
Ответ:
7. Сколько витков проволоки диаметром =0,4мм с изоляцией ничтожной толщины нужно намотать на картонный цилиндр диаметром D=2 см, чтобы получить однослойную катушку с индуктивностью L=1 мГн? Витки вплотную прилегают друг к другу.
Ответ:
8. Катушка, намотанная на немагнитный цилиндрический
каркас, имеет =750 витков и индуктивность L1=25 мГн. Чтобы увеличить индуктивность катушки до L2=36 мГн, обмотку с катушки сняли и заменили обмоткой из более тонкой проволоки с таким расчетом, чтобы длина катушки осталась прежней. Определить число N2 витков катушки после перемотки.
Ответ:
9. Соленоид содержит N=1000 витков. Площадь S сечения
сердечника равна 10 см2. По обмотке течет ток, создающий поле с индукцией В=1,5 Тл. Найти среднюю ЭДС индукции , возникающей в соленоиде, если ток уменьшится до нуля за время t= 500 мкс.
Ответ:
10. Две катушки расположены на небольшом расстоянии одна от другой. Когда сила тока в первой катушке изменяется с быстротой: = 5 А/с, во второй катушке возникает ЭДС индукции =0,1 В. Определить коэффициент взаимной индукции катушек.
Ответ:
11. Обмотка тороида с немагнитным сердечником имеет
N1=251 виток. Средний диаметр тороида равен 8 см, диаметр d витков равен 2 см. На тороид намотана вторичная обмотка, имеющая N2= 100 витков. При замыкании первичной обмотки в ней в течение t=1 мс устанавливается сила тока
I=3 А. Найти среднюю ЭДС индукции , возникающей на вторичной обмотке.
Ответ:
12. В цепи шел ток I0=50А. Источник тока можно отключить от цепи, не разрывая ее. Определить силу тока в этой цепи через t=0,01с после отключения ее от источника тока. Сопротивление R цепи равно 20Ом, ее индуктивность L=0,1Гн.
Ответ: I=6,75А.
13. Источник тока замкнули на катушку с сопротивлением R=10Ом и индуктивностью L=1 Гн. Через сколько времени сила тока замыкания достигнет 0,9 предельного значения?
Ответ: t=0,23с
14. Цепь состоит из катушки индуктивностью L =1Гн и сопротивления R=10 Ом. Источник тока можно отключать, не разрывая цепи. Определить время t, по истечении которого сила тока уменьшится до 0,001 первоначального значения.
Ответ: t=0,69с