- •Оглавление
- •Введение
- •Глава 1. Аналитический обзор методов и алгоритмов технической диагностики энергетических систем
- •1.1. Состав, содержательная сущность и методы решения
- •Задач технической диагностики систем газоснабжения
- •1.2. Особенности функционирования систем газоснабжения и их влияние на методологию технической диагностики
- •Глава 2. Статическое оценивание состояния систем газоснабжения
- •2.1. Формулировка задачи статического оценивания
- •2.2. Статическое оценивание в условиях информационной неопределенности
- •2.3. Статистические свойства оценок параметров режима
- •Глава 3. Разработка метода дистанционного обнаружения утечек в системах газоснабжения
- •3.1. Методы математической статистики в задачах обнаружения утечек
- •3.2. Разработка алгоритма диагностики утечек без учета помех от стохастичности потребления в системе газоснабжения
- •3.3. Разработка алгоритма диагностики утечек с учетом помех от стохастичности потребления в системе газоснабжения
- •3.4. Разработка алгоритма диагностики утечек с неизвестной амплитудой при учете помех от стохастичности потребления в системе газоснабжения
- •Глава 4. Разработка и апробация вычислительного комплекса для технической диагностики систем газоснабжения
- •4.1. Алгоритм и программное обеспечение технической диагностики
- •4.2. Результаты вычислительного эксперимента по апробации алгоритма решения задачи статического оценивания
- •Заключение
- •Библиографический список
- •3 94006 Воронеж, ул. 20-летия Октября,84
3.4. Разработка алгоритма диагностики утечек с неизвестной амплитудой при учете помех от стохастичности потребления в системе газоснабжения
Выше рассмотрены случаи обнаружения утечки с неизвестной амплитудой в шуме, обладающем заданной интенсивностью, либо утечки заданной величины в шуме с неизвестной интенсивностью. Поставим теперь комбинированную задачу, являющуюся важным случаем диагностики утечек, в котором как амплитуда, так и интенсивность шума неизвестны одновременно.
Пусть в моменты наблюдается выборка случайного процесса , которая может состоять из компонент шума ξ(t) либо из компонент суммы сигнала заданного вида с неизвестной амплитудой α и шума. Интенсивность шума от стохастичности потребления при этом считается неизвестной.
Тогда определяемую приемником информацию об утечке можно записать в виде [74]
(3.82)
где с вероятностью с вероятностью - заданный вектор , где определяется из тех же соображений, что и в пп. 3.2; - случайный параметр, который по-прежнему будем считать распределенным равномерно в диапазоне Δα=α2-α1. Шум является гауссовым с корреляционной матрицей - неизвестная интенсивность шума, которая распределена равномерно в интервале .
Согласно приведенным выше результатам оптимальный алгоритм обнаружения состоит в сравнении с соответствующим порогом отношения правдоподобия:
(3.83)
где применяются введенные ранее обозначения, а * обозначены оценки максимального правдоподобия соответствующих параметров.
Плотность вероятности и оценка определяются вторыми формулами (3.52) , (3.55) и соответственно
(3.84)
(3.85)
Плотность вероятности находится как
(3.86)
Оценки максимального правдоподобия и находятся из системы уравнений
(3.87)
После преобразований эти уравнения примут вид
(3.88)
откуда
(3.89)
(3.90)
Отношение правдоподобия (3.83) определяется как
(3.91)
Здесь, как и ранее, принято
Отношение (3.91) должно сравниваться с порогом
(3.92)
Величина относится к ситуации, когда имеется только шум неизвестной интенсивности, и поэтому определяется второй из формул (3.58):
(3.93)
где
Величина в соответствии с (3.5) определяется как
(3.94)
Учитывая независимость и равномерность распределения для и , можно показать [75], что Матрица D1 находится как
(3.95)
Согласно (3.88)
(3.96)
где
(3.97)
Отсюда
(3.98)
(3.99)
В результате порог имеет вид
(3.100)
Сравнение с порогом (3.100) отношения правдоподобия (3.91) эквивалентно алгоритму, в соответствии с которым принимается решение о наличии утечки, если
(3.101)
где порог определяется так:
(3.102)
а - оценочное значение нормированного отношения сигнал/ шум Если же считать, что , то
(3.103)
где - оценочное значение диапазона изменения отношения сигнал/шум (при заданном диапазоне изменения амплитуды сигнала и оценочном значении интенсивности шума, полученном в предположении о наличии утечки). Выражение в скобках в (3.103) совпадает с соответствующим порогом, определяемым соотношением (3.31), при обнаружении утечки с неизвестной амплитудой в шуме известной интенсивности. Разница заключается в том, что истинный диапазон Δh заменен оценочным Δh*. Структура алгоритма, включая и зависимость порога от , оказалась такой же, согласно [74], как и при обнаружении известной утечки в шуме неизвестной интенсивности.
При непрерывном наблюдении алгоритм (3.101) в результате предельного перехода принимает следующий вид:
(3.104)
где
(3.105)
Порог определяется так:
(3.106)
где
(3.107)
а - максимальная энергия сигнала.
В отношении алгоритма (3.104) в работе [74] указаны те же условия, которые были применены к алгоритму непрерывных наблюдений в пп. 3.3. Шум здесь подразумевается не белым, а имеющим полосу . А алгоритм (3.104) является лишь приближением к оптимальному алгоритму. При применении процедуры оптимизации алгоритмы (3.101) и (3.104) остаются в силе, однако порог становится постоянным и определяется как
(3.108)
Характеристики обнаружения могут быть получены в соответствии с [74]. Если пренебречь зависимостью порога Xn, то алгоритм будет следующим. Решение о наличии утечки принимается в случае, если
(3.109)
где
(3.110)
После введения линейного преобразования
(3.111)
с такой матрицей , что , получим
(3.112)
то есть
(3.113)
В силу рассмотренных ранее свойств и G функция корреляции
(3.114)
При нахождении математического ожидания учтено, что согласно (3.110) и (3.111)
(3.115)
Из условия т. е. следует:
(3.116)
Отсюда при а значит, при
(3.117)
при математическое ожидание , следовательно, и Из (3.110)
(3.118)
Таким образом,
(3.119)
где - статистически независимые нормально распределенные величины с параметрами ( ) при и при .
Алгоритм обнаружения сводится к сравнению с порогом величины
(3.120)
Для расчета характеристик обнаружения необходимо найти вероятность . Очевидно, что
(3.121)
где - интегральный закон распределения для .
Если ввести
(3.122)
то
(3.123)
где - интегральный закон распределения величины , т. е. распределение Стьюдента [44]. При это центральное, а при нецентральное распределение Стьюдента.
В результате характеристики обнаружения могут быть найдены по таблицам и графикам математической статистики, причем ими следует пользоваться при малых вероятностях ложной тревоги F. При больших F и достаточно больших n хорошим приближением является
(3.124)
В результате алгоритм обнаружения сводится к тому, что решение о наличии утечки принимается, если
(3.125)
что с точностью до множителя совпадает с алгоритмом обнаружения сигнала с неизвестной амплитудой в шуме известной интенсивности. При этом характеристики обнаружения определяются соотношениями (3.36) и (3.37). Характеристики обнаружения при n=10 и h=8 приведены на рис. 3.4.
Рис. 3.4. Характеристика обнаружения сигнала с неизвестной амплитудой
в шуме неизвестной интенсивности
Адаптивный алгоритм последовательного анализа при обнаружении утечки с неизвестной амплитудой в шуме неизвестной интенсивности при тех же предположениях, что и в ранее рассмотренных задачах, сводится к сравнению на каждом - м шаге наблюдений отношения
(3.126)
с двумя порогами:
(3.127)
где - оценочное значение диапазона изменения отношения сигнал/шум, полученное на -м шаге наблюдений. Структура порогов получилась такой же, как (3.75). Как показано в [74], эти пороги являются случайными за счет зависимости .
Для нахождения рекуррентного адаптивного алгоритма обнаружения подобно (3.76) можно представить правило принятия решения о наличии утечки на - м шаге наблюдений в виде
(3.128)
Подставляя (3.126) в левую часть (3.128) и полагая, что при достаточно больших n можно использовать неравенство , получим
(3.129)
Эту формулу, согласно [74], нужно дополнить рекуррентными соотношениями для , и , которые получаются на основе (3.90) и (3.84). В том же приближении, что и (3.129), они имеют вид
(3.130)