10. Геометрический смысл полного
ДИФФЕРЕНЦИАЛА КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К
ПОВЕРХНОСТИ
Подобно тому, как дифференциал функции одной переменной является приращением ординаты касательной, полный дифференциал функции двух переменных есть приращение аппликаты касательной плоскости.
Пусть функция
имеет
в точке
частные производные первого порядка.
На поверхности
возьмем три точки
,
и составим уравнение плоскости, проходящей
через эти точки:
,
или
Считая
,
разделим левую и правую части уравнения
на
,
получим
Переходя
к пределу при
,
то есть
,
найдем
Если функция
дифференцируема, то полученное уравнение
является уравнением касательной
плоскости к поверхности
в точке
.
Можно доказать, что если на данной
поверхности провести через точку
всевозможные кривые и в этой точке
построить к ним касательные, то все эти
касательные располагаются в найденной
плоскости.
Определение. Касательной плоскостью к поверхности в ее точке (точке касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.
Определение. Нормалью к поверхности называется прямая перпендикулярная касательной плоскости и проходящая через точку касания.
Так как уравнение касательной плоскости имеет вид:
,
то из условия перпендикулярности прямой и плоскости, легко получить уравнения нормали:
Если уравнение
поверхности задано неявно
,
то уравнение касательной плоскости имеет вид
,
а уравнения
нормали:
Заметим, что
полное приращение функции
на
касательной
плоскости имеет вид
,
то есть совпадает с полным дифференциалом
функции
.
Пример. Найти
уравнения касательной плоскости и
нормали к поверхности
в точке
.
Решение.
Обозначим через
левую часть уравнения поверхности,
найдем частные производные и их значения
в точке :
Подставляя найденные значения частных производных в уравнения касательной плоскости и нормали, получаем
или
-
уравнение касательной плоскости;
или
-
уравнение нормали.
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке М0:
1.1.
,
(2,2,1).
1.2.
,
(1,2,5).
1.3.
(4,3,4).
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
2. К поверхности
провести касательные
плоскости,
параллельные плоскости
3. На поверхности
найти
точки, в которых касательные плоскости
параллельны координатным плоскостям.
Ответ: 1.1.
.
1.2.
.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
11. Производные сложных функций
Пусть
,
тогда
является сложной
функцией аргументов
Предположим, что функции
-
дифференцируемые функции своих
аргументов. Найдем
.
Дадим
приращение
,
сохраняя значение
неизменным,
тогда функции
получат частные приращения
,
и, следовательно, полное приращение
функции
может быть записано в виде:
,
где
при
.
Разделив обе
части последнего равенства на
и
переходя к пределу при
,
получим:
По
определению частной производной и
условию дифференцируемости функций
и
имеем
.
В силу непрерывности функций
и
по каждому аргументу
при
,
и следовательно,
и
.
Тогда формула нахождения частной
производной сложной функции по
примет вид:
.
Аналогично может быть получена формула нахождения частной производной сложной функции по
Пример. Вычислить
частные производные сложной функции
Решение.
=
=
Пример.
Найти
,
если
,
,
.
Решение. Имеем
,
,
,
,
,
.
Отсюда получаем
,
.
Если функция
,
где функции
зависят от одного аргумента
:
то функция
фактически зависит от одной переменной
и можно находить полную производную
:
.
С учетом того,
что
,
а функции
зависят от одного аргумента
,
и
,
получаем формулу для нахождения полной
производной:
.
Задачи для самостоятельной работы
1. Найти
производные
и
функции
,
где
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
,
.
2. Найти
сложной функции
,
где
при
.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
,
где
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
3. Найти
,
если
,
где
