1.4. Реакция синтеза атомных ядер. Проблема управляемой термоядерной реакции

Ядерный синтез, т.е. слияние легких ядер в одно ядро, как и деление тяжелых ядер, сопровождается выделением огромного количества энергии.

Для слияния ядер им необходимо сблизиться на расстояние действия ядерных сил, т.е. на расстояние порядка размера ядра. Для этого необходимо преодолеть потенциальный барьер, обусловленный кулоновскими силами отталкивания, т.е. ядра должны обладать энергией

.

Здесь Z₁ и Z₂ – зарядовые числа ядер, r_я – радиус действия ядерных сил, равный примерно 2^.10^-15 м. Даже для ядер с Z₁ = = Z₂ = 1 эта энергия составляет Е = 0,7 МэВ, т.е. на каждое ядро приходится 0,35 МэВ.

Такой средней энергии теплового движения соответствует температура ~ 2.6^.10⁹ К (из уравнения Е = ). Поэтому для синтеза ядер необходимы очень высокие температуры и этот процесс называется термоядерной реакцией.

Из-за случайного распределения частиц по скоростям всегда имеется некоторое число ядер, энергия которых значительно превышает среднее значение. Кроме того, слияние ядер может произойти вследствие туннельного эффекта. Поэтому некоторые термоядерные реакции протекают с заметной интенсивностью уже при температурах порядка 10⁷ К.

Особенность реакций синтеза состоит в том, что в них энергия, выделяемая на один нуклон, значительно больше, чем в реакциях деления тяжелых ядер. Например, если при делении ядра выделяется энергия примерно 200 МэВ, что составляет примерно 0,84 МэВ на один нуклон, то в реакции синтеза дейтерия и трития эта величина равна 17,6/5 ≈ 3.5 МэВ.

Термоядерные реакции являются одним из источников энергии Солнца и звезд. Осуществление управляемого термоядерного синтеза даст человечеству практически неисчерпаемый источник энергии. Но на пути осуществления управляемой термоядерной реакции стоят огромные трудности. Наряду с необходимостью получения чрезвычайно высоких температур, при которых вещество представляет собой ионизированную плазму, возникает проблема удержания плазмы в заданном объеме. Соприкосновение плазмы со стенками сосуда приведет к ее остыванию, а любое вещество при температуре плазмы немедленно испарится. А.Д. Сахаров и И.Е. Тамм предложили удерживать плазму в заданном объеме с помощью магнитного поля. Силы, действующие в этом поле на движущиеся заряженные частицы, заставляют их двигаться по траекториям, расположенным в ограниченной части пространства.

Работы по управлению термоядерными реакциями синтеза ведутся во многих странах. Одним из основных направлений этих работ является создание установки типа Токамак (сокращение от «тороидальная камера с магнитными катушками»). Такая установка представляет собой замкнутую магнитную ловушку, имеющую форму тора. Плазма удерживается в токамаке магнитным полем очень сложной конфигурации. Разогрев плазмы осуществляется протекающим по ней током.

2. Примеры решения задач

Задача 1. При бомбардировке изотопа лития дейтронами (m_H = 3.3446^.10^-27 кг) образуются две α – частицы (m_He = 6.6467^.10^-27 кг) и выделяется энергия ΔЕ = 22,3 МэВ. Определить массу изотопа лития.

Дано: + → 2 + ΔЕ, ΔЕ = 22,3 МэВ =35,68∙10⁻¹³ Дж,

m( ) = 3.3446^.10^-27 кг, m( ) = 6.6467^.10^-27 кг

Найти: m( )

Решение: Дефект массы ядра

Δm = m( ) + m( ) - 2 m( ) (1)

с другой стороны,

Δm = ΔЕ / c² (2)

поэтому из выражений (1) и (2) найдем искомую массу изотопа лития:

m( ) = ΔЕ / c² + 2 m( ) - m( ) .

Вычисляя, получаем: m( ) = 9.9884^.10^-27 кг.

Ответ: 9.9884^.10^-27 кг.

Задача 2. В результате соударения дейтрона с ядром бериллия образовались новое ядро и нейтрон. Определить порядковый номер и массовое число образовавшегося ядра, записать ядерную редакцию и определить её энергетический эффект.

Дано: .

Найти:

Решение: Из законов сохранения зарядовых и массовых чисел следует, что образовавшееся в результате ядерной реакции ядро – изотоп бора . Поэтому ядерную реакцию запишем в виде

,

Энергетический эффект ядерной реакции

(1)

(где в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых – массы ядер продуктов реакции). При расчетах вместо масс ядер используют массы нейтральных атомов, так как, согласно закону сохранения зарядовых чисел, в ядерной реакции (а зарядовое число Z нейтрального атома равно числу электронов в его оболочке), получаются одинаковые результаты.

Массы нейтральных атомов в выражении (1):

m( ) = 3.3446^.10^-27 кг, m( ) = 1,4966^.10^-26 кг,

m( ) = 1,6627^.10^-26 кг; m(n) = 1.675^.10^-27 кг.

Вычисляя, получаем Q = 4.84 MэВ; энергетический эффект положителен; реакция экзотермическая.

Ответ: 4.84 MэВ, реакция экзотермическая.

Задача 3. Покоившееся ядро полония испускает α - частицу с кинетической энергией T_α = 5.77 МэВ. Определить: 1) скорость отдачи дочернего ядра; 2) какую долю кинетической энергии α - частицы составляет энергия отдачи дочернего ядра.

Дано: , T_α = 5.77 МэВ.

Найти: v_д , T_д /T_α .

Решение: Запишем закон сохранения импульса

m_α v_α = m_д v_д.

Скорость α – частицы определим из энергии

.

Тогда

.

Зная скорость дочернего ядра, можно определить его кинетическую энергию и ее долю от энергии α – частицы:

, .

Вычисляя, получим v_д = 3,36^.10⁵ м/с , T_д / T_α = 0,02.

Ответ: v_д = 3,36^.10⁵ м/с , T_д / T_α = 0,02.

Задача 4. Найти энергию реакции , если известно, что кинетические энергии протона T_p = 5.45 МэВ, ядра гелия T_He = 4 МэВ и что ядро гелия вылетело под углом 90^o к направлению движения протона. Ядро-мишень неподвижно.

Дано: , T_p = 5.45 МэВ, T_He = 4 МэВ,

α = 90^o.

Найти: Q.

Решение. Энергия реакции Q есть разность между суммой кинетических энергий ядер-продуктов реакции и кинетической энергией налетающего ядра:

Q = T_Li + T_He - T_Н (1)

В этом выражении неизвестна кинетическая энергия лития. Для ее определения воспользуемся законом сохранения импульса

p_H = p_He + p_Li (2)

Векторы p_H и p_He , по условию задачи, взаимно перпендикулярны и, следовательно, вместе с вектором p_Li образуют прямоугольный треугольник. Поэтому

(3)

Выразим в этом равенстве импульсы ядер через их кинетические энергии. Так как кинетические энергии ядер, по условию задачи, много меньше энергий покоя этих ядер, то можно воспользоваться классической формулой

p² = 2mT (4)

Заменив в уравнении (3) квадраты импульсов ядер их выражениями (4), получим

m_Li= m_HeT_He + m_HT_H

откуда

.

Подставляя табличные значения масс и числовые значения энергии, получаем

=3,58 МэВ

Из формулы (1) находим Q = 2,13 МэВ.

Ответ: Q = 2,13 МэВ

Задача 5. Решить задачу предыдущего примера, считая, что кинетические энергии и направления движения ядер неизвестны.

Решение. Применим закон сохранения релятивистской полной энергии

E_Be + E_H = E_He + E_Li (5)

Релятивистская полная энергия ядра равна сумме энергии покоя и кинетической энергии:

E = mc² + T (6)

В формуле (6) для упрощения записи масса покоя обозначена не через m_o, а через m.

Так как ядро-мишень неподвижно, то на основании формулы (6) уравнение (5) принимает вид

m_Bec² + m_Hc² + T_H = m_Hec² + T_He + m_Lic² + T_Li (7)

Определим энергию реакции:

Q = T_Li + T_He - T_Н = c²(( m_Be + m_H) – (m_He + m_Li)) (8)

При числовом подсчете массы ядер заменим массами нейтральных атомов. Легко убедиться, что такая замена не повлияет на результат вычисления. В самом деле, так как масса m ядра равна разности между массой m_a нейтрального атома и массой Zm_e электронов, образующих электронную оболочку, то

Q = c²(( m_Be +4m_e + m_H + m_e) – (m_He + 2m_e +m_Li + 3m_e )).

Упростив это выражение, мы получим формулу (8).

Подставив числовые значения коэффициента пропорциональности с² (МэВ/а.е.м.) и масс нейтральных атомов (а.е.м.), получим

Q = 931,5 ((9,01219+1,00783) - (4,00260+6,01513)) = 2,13 МэВ

что совпадает с результатом, полученным в предыдущей задаче.

Ответ: Q = 2,13 МэВ

Задача 6. Радиоактивное ядро магния выбросило позитрон и нейтрино. Определить энергию Q ⁺ -распада ядра.

Решение. Реакцию ⁺ -распада ядра магния можно записать следующим образом:

.

Принимая, что ядро магния было неподвижным, и учитывая, что масса покоя нейтрино равна нулю, напишем уравнение энергетического баланса. На основании закона сохранения релятивистской полной энергии имеем

m_Mgc² = m_Nac² + T_Na + m_ec² + T_e + T_v

Энергия распада

Q = T_Na + T_e + T_v = c²(m_Mg – m_Na - m_e)

Выразим массы ядер магния и натрия через массы соответствующих нейтральных атомов:

Q = c²((m_Mg – 12 m_e) – (m_Na - 11 m_e) - m_e)

Так как массы покоя электрона и позитрона одинаковы, то после упрощений получим

Q = c²(m_Mg – m_Na - 2m_e).

Сделав подстановку, найдем Q = 3.05 МэВ.

Ответ: Q = 3.05 МэВ

Задача 7. Определить зарядовое число Z и массовое число A частицы, обозначенной буквой x, в символической записи ядерной реакции:

1) ;

2) ;

3) .

Найти: x.

Решение: Используя законы сохранения массового и зарядового числа, получаем

1) ; Z = 1, A = 1, x = ;

2) ; Z = 0, A = 1, x = ;

3) ; Z = 0, A = 1, x = .

Задача 8. Определите суточный расход чистого урана атомной электростанцией мощностью Р = 300 МВт, если при делении за один акт деления выделяется 200 МэВ энергии.

Дано: t = 24 ч (24 • 3600 с); Р = 300 МВт (3 • 10⁸ Вт); = =200 МэВ (3,2 • 10^-11 Дж).

Найти: m.

Решение. Энергия, выделяемая при сжигании 1 кг топлива,

(1)

где N_A = 6,02 • 10²³ моль^-1 — постоянная Авогадро,

М = 235 • 10^-3 кг/моль — молярная масса.

Мощность

,

откуда

. (2)

Подставив в формулу (2) выражение (1), получим искомый суточный расход урана:

.

Подставляя числовые значения, получаем: m = 316 г.

Ответ: m = 316 г.

Задача 9. Определить, во сколько раз увеличится число нейтронов цепной ядерной реакции за время t = 10 c, если среднее время жизни T одного поколения составляет 80 мс, а коэффициент размножения нейтронов k = 1.002.

Дано: t = 10 c, T = 80 мс, k = 1.002.

Найти: N / N_o .

Решение: Пусть T — среднее время жизни одного поколения, a N — число нейтронов в данном поколении. В следующем поколении их число равно kN, т.е. прирост числа нейтронов за одно поколение dN = kN — N = N(k — 1). Прирост же числа нейтронов за единицу времени, т.е. скорость нарастания цепной реакции,

.

Интегрируя это выражение, получим

,

где N₀ - число нейтронов в начальный момент времени, а N — их число в момент времени t.

Тогда искомое

.

Подставляя числовые значения, получаем N / N_o =1,284.

Ответ: N / N_o =1,284.

Задача 10. В процессе осуществления реакции энергия фотона составляет 2,02 МэВ. Определить полную кинетическую энергию T позитрона и электрона в момент их возникновения.

Дано: , = 2,02 МэВ.

Найти: T.

Решение: По закону сохранения энергии энергия фотона идет на образование электрона и позитрона и сообщение им кинетической энергии:

E_o = 2mc² + T.

Здесь mc² – энергия покоя каждой из частиц (масса электрона равна массе позитрона). Отсюда

T = E_o - 2mc².

Подставляя числовые значения, получаем T = 1 МэВ.

Ответ: T = 1 МэВ.

Задача 11. При достаточно больших энергиях нейтронов (≈ 10 МэВ) на ядре урана идет ядерная реакция типа (n,2n), в результате которой образуется искусственно-радиоактивное ядро, испытывающее β^--распад. Запишите указанные процессы.

Дано: , (n,2n); β^--распад.

Решение. Ядерная реакция (n,2n) на ядре запишется в виде:

.

Ядро претерпевает β^--распад по схеме:

Задача 12. При захвате теплового нейтрона ядром урана образуются два осколка деления и два нейтрона. Определите зарядовое число Z и массовое число А одного из осколков, если другим осколком является ядро стронция . Первый из осколков претерпевает три β^--распада. Запишите реакцию деления и цепочку β^--распадов.

Дано: , 2n, , 3 β^--распада.

Найти: .

Решение. Согласно условию задачи

Согласно законам сохранения массовых и зарядовых чисел, число нуклонов и суммарное зарядовое число в левой и правой частях уравнения должны быть равны. Следовательно, у образовавшегося в результате реакции первого осколка

А = (235 + 1) – (95 + 2) = 139; Z = 92 - 38 = 54.

В периодической системе элементов они соответствуют . Таким образом, реакция запишется в виде

.

β^--распад протекает согласно правилу смещения

.

Тогда цепочку трех β^--распадов можно представить в виде

^{ксенон  цезий  барий  лантан}

Задача 13. В недрах Солнца происходят ядерные реакции, в результате которых из четырех ядер возникают ядро гелия, два позитрона и освобождается ядерная энергия ΔE, т. е.

Найти энергию, которая выделится при образовании 1 кг гелия, если энергия связи ядра гелия-4 составляет 28,3 МэВ? (Ответ выразить в джоулях и мегаэлектронвольтах.)

Дано: E_св( ) = 28,3 МэВ, m = 1 кг, N_A = 6,02 • 10²³ моль^-1, M = 4 • 10^-3 кг • моль^-1.

Найти: E.

Решение.

Так как ядро гелия образуется из свободных протонов, то энергетический выход данной реакции равен энергии связи ядра гелия, т. е. при образовании одного ядра гелия выделяется 28,3 МэВ энергии. Выделившаяся при образовании 1 кг гелия энергия равна

E = E_св( ) ^. n,

где n — число атомов гелия в m килограммах. Но n = m N_A/M, и тогда

.

Подставляя числовые значения, получаем:

E = 4,259 • 10²⁷ МэВ = 6,8144 • 10¹⁴ Дж.

Ответ: E = 4,259 • 10²⁷ МэВ = 6,8144 • 10¹⁴ Дж.