3.2. Двоичная система счисления
Представление информации с помощью двоичного кодирования наиболее оптимально для ЭВМ, так как данные в ЭВМ передаются по проводам с помощью двух сигналов "Есть напряжение" и "нет напряжения". Поскольку все данные в ЭВМ кодируются числами, то для передачи их по проводам необходимо применять двоичную систему.
Двоичная система имеет основание р=2 и базу 0 и 1. То есть, для изображения числа используются только два знака (табл. 3.1). Попробуем посчитать в десятичной системе, а затем в двоичной системе.
Таблица 3.1
Таблица соответствия двоичной СС десятичной СС
10-я |
2-я |
10-я |
2-я |
10-я |
2-я |
10-я |
2-я |
1 |
1 |
6 |
110 |
11 |
1011 |
16 |
10000 |
2 |
10 |
7 |
111 |
12 |
1100 |
17 |
10001 |
3 |
11 |
8 |
1000 |
13 |
1101 |
18 |
10010 |
4 |
100 |
9 |
1001 |
14 |
1110 |
19 |
10011 |
5 |
101 |
10 |
1010 |
15 |
1111 |
20 |
10100 |
Правила перевода из десятичной в двоичную систему:
Для перевода десятичного числа в двоичную систему отдельно переводят дробную и целую части.
Чтобы перевести целое число из 10-ой в 2-ую систему нужно выполнять последовательное деление числа на 2 до тех пор, пока результат не станет меньше 2. Последний результат и остатки от деления, взятые в обратном порядке, дают двоичное число.
Например:
164 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
164 |
82 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
82 |
41 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
40 |
20 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
20 |
10 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
10 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате 16510=101001002.
Для перевода правильной дроби из 10-системы счисления в 2-ю СС нужно умножить исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание 2, представленное в старой 10-системе. Целые части получающихся произведений дают последовательность цифр, которая является представлением дроби в 2-ой системе счисления.
Правила перевода из двоичной в десятичную систему:
Для перевода числа из двоичной в десятичную систему необходимо разложить число по основанию системы счисления и посчитать результат.
Например,
Арифметические операции в двоичной системе:
Сложение двоичных чисел происходит аналогично сложению чисел в десятичной системе. Необходимо помнить, что использовать можно только две цифры 0 и 1, следовательно, нужно помнить соотношения:
210=102
310=112
410=1002
510=1012
610=1102
710=1112
Например,
101001,1102+
110,0112=
110000,0012
101010,11112+
1011,11012=
110110,11002
Если в результате промежуточного действия, которое человек автоматически выполняет в десятичной системе, получилось число большее единицы, то его необходимо перевести в двоичную систему. Так в первом примере складывает справа налево 0+1=1, 1+1=210=102. Следовательно, в результате оставляем 0 (правый разряд результата), а 1 (левый разряд результата) запоминаем в следующем разряде и т.д.
Умножение двоичных чисел происходит также, как и для десятичных, только используются две цифры 0 и 1. Например, умножаем двоичные числа:
1001,1
110,1
10011
00000
10011
10011
11110,111
Таким образом, умножение двоичных чисел сводится к сдвигу и сложению.