4. Статистическое риск-моделирование неправомерной реализации и блокирования доступа к компьютерной информации в компонентах распределенных компьютерных систем

1. Риск-модель dDoS-атаки, направленной на компоненты распределенной компьютерной системы

Основываясь на полученной статистике, было установлено, что плотность вероятности DDoS-атак на распределенные компьютерные системы определяется гамма-функцией распределения вероятностей наступления ущербов.

Функция гамма-распределения:

(2.24)

где

и параметры

Функция плотности распределения:

(2.25)

График функции плотности распределения с различными параметрами и приведен на рис. 4.1.

Рис. 4.1.График функции плотности гамма-распределения

Гамма-распределение задается формулой:

(2.26)

Рассмотрим параметры риска для гамма-распределения.

Для гамма-распределения начальные моменты вычисляются следующим образом:

,

с

(2.27)

ледовательно: .

Рассчитаем первые пять начальных моментов:

Среднее значение ущерба:

Центральный момент второго порядка:

Среднеквадратическое отклонение ущерба:

Третий центральный момент:

Четвертый центральный момент:

Коэффициент асимметрии:

Коэффициент эксцесса:

Мода ущерба:

Приравниваем выражение к нулю:

Таким образом, аналитическое выражение для моды ущерба, то есть для значения ущерба, при котором достигается максимум риска, равно:

Зная моду, можно найти пик риска:

Графически решения последних двух уравнений можно проиллюстрировать с помощью рис.4.2.

Рис.4.2. Графическое изображение моды ущерба и пика риска

Среднеквадратическое отклонение от моды:

На основе среднеквадратического отклонения от моды представляется возможным найти островершинность риска:

где

Рассчитанные параметры сведены в табл.4.1, которую можно использовать для их вычислений.

Таблица 4.1

Аналитические выражения риска и параметров для гамма-распределения плотности вероятности наступления ущерба

Аналитическое выражение риска наступления ущерба u
где u – ущерб, – параметр распределения плотности вероятности наступления ущерба
Наименование параметра риска	Аналитическое выражение параметра риска
Среднее значение ущерба
4-ый начальный момент
5-ый начальный момент
k-тый начальный момент
2-ой центральный момент
3-ий центральный момент
Мода ущерба
Пик риска
Среднеквадратическое отклонение ущерба
Среднеквадратическое отклонение от моды
Островершинность риска

Полученные аналитические выражения для риска могут служить математической основой для оценки риска DDoS-атак на РКС.

4.1.1. Риск-анализ распределенных компьютерных систем, подвергающимсяDDoS-атакам в диапазоне ущербов

Для нахождения значений ущерба по заданному уровню риска следует решить следующее уравнение:

Прологарифмируем выражение:

Разложим логарифм в ряд Тейлора. При разложении ограничимся первыми двумя членами ряда.

где

Произведем следующую замену переменных

где область определения -1<y<1.

Соответственно обратное преобразование будет иметь вид

Следовательно:

В результате получено уравнение четвертой степени, которое, как известно, может быть решено в аналитическом виде. Два корня этого уравнения будут комплексными числами, а два других, имеющими физический смысл, действительными. Для них следует произвести обратное преобразование и получить значения Графически это решение можно проиллюстрировать с помощью рис. 4.3.

Рис.4.3. Границы ущербов по заданному уровню риска