Занятие № 12 исследование поведения функций с помощью первой производной

Литература: [12], с. 144-154.

Контрольные вопросы и задания

1. Какая функция называется возрастающей и убывающей?

2. Как применяется производная для исследования функции на возрастание и убывание (докажите теорему)?

3. Дайте определение максимума и минимума функции в точке.

4. Сформулируйте и докажите необходимое условие существования экстремума.

5. Каковы достаточные условия существования экстремума функции в точке?

6. Какова схема исследования дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной.

Примеры решения задач

Пример 1. Провести исследование и построить график функции .

Решение.

1. Область определения функции находим из условия . Решая квадратное уравнение , находим значения корней , . Таким образом

.

2. Находим точки пересечения с осями координат:

; при .

3. Очевидно, что данная функция не является периодической, так как не содержит элементарных периодических функций. Для проверки функции на четность или нечетность находим

.

Полученное выражение не равно ни ни , поэтому данная функция не является ни четной ни нечетной.

4. Исследуем точки разрыва функции.

.

.

Так как пределы бесконечные, то является точкой разрыва второго рода, а прямая является вертикальной асимптотой.

.

.

Так как пределы бесконечные, то является точкой разрыва второго рода, а прямая является вертикальной асимптотой.

5. Проверяем наличие у функции наклонных асимптот, имеющих уравнение

.

.

Таким образом, функция имеет горизонтальную асимптоту , совпадающую с осью .

6. Исследуем функцию на экстремум и участки монотонности, для чего находим ее производную

.

Производная не существует при и . Производная не равна нулю, так как квадратное уравнение имеет отрицательный дискриминант. Результаты исследований первой производной помещаем в таблицу

Из таблицы видно, что данная функция не имеет точек экстремума, так как производная всегда положительна.

7. Исследуем функцию на точки перегиба и участки выпуклости и вогнутости, для чего находим ее вторую производную

.

Вторая производная не существует при и . Но в этих точках функция не определена, поэтому они не могут являться точками перегиба. Для нахождения других критических точек приравниваем вторую производную нулю и получаем . Результаты исследований второй производной помещаем в таблицу

						2
	вогнутая		выпуклая		вогнутая		выпуклая

Из таблицы видно, что при вторая производная равна нулю и меняет знак, следовательно, эта точка является точкой перегиба графика функции.

8. По результатам всех исследований выполняем построение графика данной функции (рис. 5).

Рис. 5

Пример 2. Провести исследование и построить график функции .

Решение.

1. Областью определения функции является вся числовая ось. Таким образом .

2. Находим точки пересечения с осями координат:

; при .

3. Очевидно, что данная функция не является периодической, так как не содержит элементарных периодических функций. Для проверки функции на четность или нечетность находим

.

Полученное выражение не равно ни ни , поэтому данная функция не является ни четной ни нечетной.

4. Данная функция определена всюду, поэтому точек разрыва нет и вертикальных асимптот тоже нет.

5. Проверяем наличие у функции наклонных асимптот, имеющих уравнение

.

Следовательно, правой асимптоты у функции нет.

.

.

Таким образом, при функция имеет горизонтальную асимптоту , совпадающую с осью .

6. Исследуем функцию на экстремум и участки монотонности, для чего находим ее производную

.

Производная определена при любом значении и равна нулю при . Результаты исследований первой производной помещаем в таблицу

Из таблицы видно, что функция при имеет точку минимума, так как производная в этой точке равна нулю и меняет знак.

7. Исследуем функцию на точки перегиба и участки выпуклости и вогнутости, для чего находим ее вторую производную

.

Вторая производная определена при любом значении и равна нулю при . Результаты исследований второй производной помещаем в таблицу

	выпуклая		вогнутая

Из таблицы видно, что при вторая производная равна нулю и меняет знак, следовательно, эта точка является точкой перегиба графика функции.

По результатам всех исследований выполняем построение графика данной функции (рис. 6).

Рис. 6

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Решить задачи: [13], 1399-1414, 1437, 1462-1464, 1465-1469, 1472-1477.

Форма отчетности: конспект, устный опрос.