3. Упругие деформации тел

3.1. Однородны упругий брусок движется по гладкой горизонтальной плоскости под действием постоянной силы F₀, равномерно распределенной по торцу. Площадь торца S, модуль Юнга материала E. Найти относительное сжатие бруска в направлении действия данной силы.

Р ешение. Введем две координатных оси, одна из которых ОХ связана с движущимся объектом, другая - является неподвижной (см. рис.). Выделим малый элементбруска длины .

Ускорение этого элемента как и бруска в целом равно . Со стороны сечений плоскостями x и на выделенный отрезок бруска действуют упругие силы и результирующая которых равна Уравнение движения выделенного элемента в неподвижной системе координат где Отсюда получаем: Из граничного условия имеем: и . Представляем и получаем зависимость Под относительном сжатием бруска в целом будем понимать среднее значение величины

3.2. Медный стержень длины l подвесили за один конец к потолку. Найти:

а) удлинение стержня под действием собственного веса;

б) относительное приращение его объема ∆V/V.

Решение.

Сила натяжения подвешенного стержня в каком-либо сечении x равна весу нижней его части (рис.):

.

В рамках упругих деформаций где E – модуль Юнга, S – площадь поперечного сечения, - относительная деформация. Это условие позволяет из равенства (1) получить Среднее значение величины по всей длине стержня равно: Учитывая, что где - плотность массы стержня, получаем Удлинение стержня под действием собственного веса равно Пусть l иd – размеры стержня в горизонтальном положении, и - в вертикальном. Тогда для объемов можно написать: Учитывая соотношения и пренебрегая величинами более высокого порядка малости, находим Для данного образца

3.3. Вычислить момент сил N, которые вызывают закручивание стальной трубы длинны l = 3,0 м на угол φ = 2.0^ͦвокруг ее оси, если внутренний и внешний диаметр трубы равны d₁ = 30 мм и d₂ = 50 мм.

Решение. Воспользуемся результатом предыдущей задачи (пункт б):

3.4. Какую работу необходимо совершить, чтобы стальную полосу длины l = 2,0 м, ширины h = 6,0 см и толщины δ = 2,0 мм согнуть в круглый обруч? Процесс происходит в пределах упругой деформации.

Решение. Средний радиус обруча, полученного из данной полосы При этом внутренний радиус обруча внешний где - толщина полосы. Относительная деформация растяжения-сжатия на цилиндрической поверхности радиуса r равна При изгибе вогнутая часть пластины подвергается сжатию, выпуклая - растяжению. Поверхность, при переходе через которую меняется знак деформации, называется нейтральной. При удалении от этой поверхности деформации и внутреннее напряжение увеличивается от ноля до максимального значения на выпуклой и вогнутой поверхностях пластины.

В условиях определенных воздействий внешних сил нейтральная поверхность пластины при изгибе представляет собой цилиндрическую поверхность некоторого радиуса . При этом напряженное состояние пластины будет характеризоваться определенным уровнем упругой энергии. Будем считать, что величина этой энергии приближенно равна работе внешних деформирующих сил, т.е.

Для цилиндрического слоя радиуса r и толщины dr полученного обруча энергия . Из соотношения имеем: где - максимальное значение относительной деформации. Тогда а полная упругая энергия

Итак,

3.5. Найти энергию упругой деформации стального стержня, у которого один конец закреплен, а другой закручен на угол φ = 6,0^ͦ_. Длина стержня l = 1,0 м, его радиус r = 10 мм.

Решение.Воспользуемся зависимостью между крутящим моментом и углом закручивания стержня, полученной в задаче 1.357. Энергию упругой деформации стержня найдем через работу крутящего момента N: где - конечный угол закручивания. Для числовых значений исходных величин данной задачи W=7Дж.