ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический

университет»

Кафедра физики

Основные законы механики в примерах и задачах методические указания

по дисциплине «Физика» для студентов всех технических

направлений и специальностей очной формы обучения

Воронеж 2014

Составители: канд. физ.- мат. наук В.А. Евсюков, канд. физ.- мат. наук Н.В. Агапитова

УДК 53

Основные законы механики в примерах и задачах: методические указания по дисциплине «Физика» для студентов всех технических направлений и специальностей очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. В.А. Евсюков, Н.В. Агапитова. Воронеж, 2014. 41 с.

В методических указаниях предложены решения многих задач по основным разделам механики общего курса физики. Характер рассматриваемых задач предполагает достаточно хорошее владение обучаемыми теоретическими основами раздела. Методические указания предназначены для самообразования бакалавров различных специальностей очной формы обучения.

Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word 2007 и содержатся в файле «Показательные решения по физической механике.doc».

Ил. 39. Библиогр.: 5 назв.

Рецензент д-р физ.- мат. наук, проф. А.В. Бугаков

Ответственный за выпуск зав. кафедрой канд. физ.-мат. наук, проф. Т.Л. Тураева

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

© ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2014

Предисловие

Быть может прозвучит банально, если скажем, что одной из важнейших общеобразовательных дисциплин в процессе подготовки специалистов инженерного профиля является физика. Всякий специалист при решении какой – либо технической проблемы неизбежно сталкивается с рядом физических явлений и законов их действия. Поэтому в подготовке специалистов технической направленности достойное место должна занимать физика.

Физика – достаточно трудная дисциплина, при изучении которой возникает понимание сути явлений и умение математического описания, определяющих законы их действия. Эти качества достигающиеся большим трудом обучаемого.

Познание физики как предмета начинается с изучения законов взаимодействия и механического движения тел. При этом основным видом занятий является практика решения задач. В методических указаниях рассмотрен целый ряд задач по разным разделам физической механики и предложены способы их решения. Составители данного издания надеются, что каждый студент, внимательно прочтя и разобравшись в сути и решении заданий, сможет уже самостоятельно решать многие вопросы механики. Эта мысль была положена в основу данного методического послания студентам, изучающим физику.

1. Кинематика точки и твердого тела

1.1. Частица прошла за некоторое время ¾ окружности со средним значением модуля скорости <V>. Найти модуль средней скорости частицы |< >| за тоже время.

Р ешение. По условию пройденный частицей путь за некоторое время равен , где R — радиус окружности. (1). По указанному значению <V> из (1) находим . (2). Перемещение частицы за тот же промежуток времени равно . Средняя скорость частицы на данном пути . Отсюда модуль (3). Подставляя (2) в (3), получим .

1.2. Радиус-вектор частицы изменяется со временем по закону: (м). Найти:

а) скорость и ускорение частицы,

б) модуль скорости V в момент t=1 с,

в) приближенное значение пути S, пройденного частицей за 11-ую секунду.

Решение. Согласно заданному закону частица совершает движение в плоскости z = 1 (м). По определению скорости и ускорения точки имеем: , . Модуль скорости частицы V = | |= , V|_t=1= = 6,3 (м/с). При движении частицы ее координаты изменяются по законам: x = 3 ,y = 2t, z = 1 = const. Из первых двух равенств следует, что x = , т.е. в проекциях на оси Х и У частица движется по ветви параболы с вершиной в точке (0;0). Координаты частицы в моменты времени и равны: х(10) = 300 м, у(10) = 20 м, х(11) = 363 м, у(11) = 22 м. Координата z = 1 м не меняется. Дугу параболы между положениями частицы в заданные моменты времени приближенно примем за отрезок прямой. Тогда соответствующий путь S = 63 (м).

1.3. Частица движется равномерно по криволинейной траектории. Модуль ее скорости равен V. Найти радиус кривизны R траектории в той точке, где модуль ускорения частицы равен W.

Решение. Поскольку V = const, касательное ускорение частицы W_ = 0. Следовательно полное ускорение по модулю равно нормальному ускорению, т.е. W = W_n, которое в свою очередь равно V²/R, где R — радиус кривизны траектории в заданной точке. Т.о., W = V²/R. Отсюда R = V²/W.

1.4. В некоторый момент времени t компоненты скорости частицы имеют значения (1,00; 2,00; -3,00) (м/с), а компоненты ускорения — (3,00; 2,00; 1,00) (м/с²). Найти:

а) значение выражения dV/dt в момент времени t,

б) радиус кривизны R траектории в той точке, в которой частица находится в момент t.

Р ешение.Для некоторого момента времени t имеем скорость и ускорение частицы:

(м/с), (м/с²).

а) Величина dV/dt представляет касательную составляющую ускорения (см.рис.). . Следовательно . (м²/с³). (м/с),W = . Получаем (м²/с³).

б) Радиус кривизны траектории в заданной точке (м).

1.5. Зависимость модуля скорости частицы V от пройденного частицей пути S определяется функцией V(S) = V_o — bS.

а) Найти зависимость S от времени t.

б) Определить зависимость V от t.

в) Написать приближенные выражения для S(t) и V(t), справедливые для t<< 1/b.

Решение. Дана зависимость скорости частицы от пути в виде V = V_o — bS. Найдем зависимости S(t) и V(t).

а) dS = Vdt =>dS = (V_o — bS)dt => => => => . При t = 0 S = 0 => V_o = C; => => .

б) ;

в) при t<< 1/bbt<< 1и . Тогда , .

1 .6. Цилиндр катится без скольжения со скоростью V (см.рис.). Найти скорости точек 1,2 и 3, выразить их через орты координатных осей.

Решение. Задана скорость качения V_o цилиндра. Скольжения нет. Определим скорости точек 1, 2 и 3 (см.рис.). Цилиндр участвует в двух движениях — поступательном вдоль Х со скоростью и вращательном с угловой скоростью , причем , где R — радиус цилиндра. По формуле найдем скорости выбранных точек 1,2 и 3:

;

.

1.7. Шар вращается с угловой скоростью вокруг оси, которая поворачивается в плоскости x, y с угловой скоростью . Найти:

а) угловую скорость и угловое ускорение шара, а также модули этих векторов,

б) угол между векторами и ,

в) угол между векторами и . Считать, что в начальный момент времени вектор направлен по оси Х.

Р ешение. На рисунке показаны вращения шара. Первая ось вращения ОО’ шара поворачивается в плоскости ХУ с угловой скоростью вокруг неподвижной оси Z. По закону сложения угловых скоростей результирующая угловая скорость вращения тела равна . При этом вектор поворачивается вокруг оси Z, описывая конус. Следовательно, вектор определяет мгновенную ось результирующего вращения тела. Векторы по условию перпендикулярны друг другу и поэтому их можно рассматривать как проекции вектора на ось Z и плоскость XY, — постоянный вектор, — переменный вследствие вращения. Вектор можно разложить на составляющие вдоль осей Х и У и написать , полагая, что , а также, что в момент t = 0 вектор , направлен по оси Х. Таким образом, ,  (1). Дифференцируя (1) по времени, получим угловое ускорение: ,  = ^. Угол между векторами и равен . Угол между векторами и определяется по формуле , .