Раздел V. Вектор – функция скалярного аргумента

Тема 5. Вектор-функция скалярного аргумента

1. Определение вектор-функции скалярного аргумента. Годограф.

2. Задание вектор-функции с помощью координат. Параметрическое задание линии (годографа).

3. Определение производной вектор-функции. Ее геометрический и механический смысл.

4. Дифференциал вектор-функции. Дифференциал длины годографа.

5. Дифференциал длины кривой, заданной параметрически.

6. Уравнения нормальной плоскости, проведенной через точку годографа.

7. Уравнения касательной, проведенной через точку годографа.

8. Вторая производная вектор-функции и ее механический смысл.

9. Средняя кривизна и кривизна линии в ее точке. Формула для нахождения кривизны годографа в заданной точке.

Литература: [2, гл. VII, §5, задачи 1127 – 1131, 1134, 1135, 1138, 1141 – 1143, 1145, 1146]; [1, гл. IX].

Раздел VI. Двойные интегралы

Тема 6. Двойные интегралы

1. Определение двойного интеграла, его геометрический смысл.

2. Свойства двойного интеграла.

3. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.

4. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.

5. Вычисление объемов и площадей плоских фигур.

6. Механические приложения двойного интеграла: вычисление массы,

статических моментов, моментов инерции, координат центра тяжести

плоской пластины.

Литература: [1, т. 2, глава XIV]; [3, гл. XII, §1-6]; [4]; [5, гл. XI, §53]; [6, с. 24-30].

Раздел VII. Криволинейные интегралы

Тема 7. Криволинейные интегралы

1. Определение и свойства криволинейного интеграла I рода (по дуге).

2. Формулы для вычисления криволинейного интеграла I рода.

3. Вычисление длины дуги.

4. Вычисление массы материальной дуги, ее моментов инерции, координат ее центра тяжести.

5. Определение и свойства криволинейного интеграла II рода (по коорди- натам).

6. Формулы для вычисления криволинейного интеграла II рода.

7. Вычисление площади плоской фигуры.

8. Вычисление работы переменной вектор-силы.

Литература: [1, т. 2, глава XV]; [3, гл. XIII]; [4]; [5, гл. XII, §55, §56]; [6, с. 31-33].

Определение варианта

Для определения номера своего варианта возьмите двузначное число, на которое оканчивается номер вашего шифра (номер вашей зачетной книжки). Если оно не превосходит 20, то это номер вашего варианта. В противном случае вычитайте из этого числа 20 до тех пор, пока остаток не станет меньше 21. Тогда этот остаток и есть номер вашего варианта.

Условие задачи состоит из общей для всех вариантов формулировки и двадцати вариантов конкретных данных. Именно для этих данных вам надлежит выполнить решение своего варианта. При оформлении контрольной работы условия задач следует переписывать полностью. Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради с полями и сдается (отсылается) для проверки в установленное деканатом время (до начала сессии).

Контрольная работа № 3

Задача 1. Найти неопределенные интегралы. В пп. а) и б) результаты проверить дифференцированием.

1. a) ; б) ; в) ;

г) ; д) е) .

2. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

3. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

4. а) б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

5. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

6. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

7. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

8. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

9. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

10. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

11. а) ; б) в) ;

г) ; д) ; е) ;

12. а) ; б) в) ;

г) ; д) ; е) ;

13. а) ; б) в) ;

г) ; д) ; е) ;

14. а) ; б) в) ;

г) ; д) ; е) ;

15. а) ; б) в) ;

г) ; д) ; е) ;

16. а) ; б) в) ;

г) ; д) ; е) ;

17. а) ; б) в) ;

г) ; д) ; е) ;

18. а) ; б) в) ;

г) ; д) ; е) ;

19. а) ; б) в) ;

г) ; д) ; е) ;

20. а) ; б) в) ;

г) ; д) ; е) .

Задача 2. Вычислить определенные интегралы.

1. 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. .

16. . 17. . 18. .

19. . 20. .

Задача 3. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

13. . 14. 15.

16. . 17. . 18.

19. . 20. .

Задача 4. Используя определенный интеграл, вычислить:

1. Площадь фигуры, ограниченной линиями: .

2. Объем тела, полученного от вращения вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями

3. Длину дуги линии

4. Площадь фигуры, ограниченной линиями: .

5. Объем тела, полученного от вращения вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями

6. Длину дуги линии

7. Площадь фигуры, ограниченной линиями: .

8. Объем тела, полученного от вращения вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями

9. Длину дуги линии .

10. Площадь фигуры, ограниченной линиями: .

11. Объем тела, полученного от вращения вокруг оси OX трапеции, образованной прямыми и осью OX.

12. Длину дуги линии

13. Площадь фигуры, ограниченной осью OX и линиями: .

14. Площадь фигуры, ограниченной кривой , прямыми и осью OY.

15. Объем тела, полученного от вращения вокруг оси OY фигуры, ограниченной линиями .

16. Длину дуги линии .

17. Площадь фигуры, ограниченной кривой: .

18. Объем тела, полученного от вращения вокруг оси OX фигуры, ограниченной параболой и прямой .

19. Длину дуги линии .

20. Площадь фигуры, ограниченной кривой и прямыми _.