Примеры решения задач по теме №2
Пример 2.1. Двухатомный газ, находящийся под давлением 0,1 МПа в сосуде объемом 0,5 м3, нагревают от 30 до 1300С. Определить количество теплоты, необходимое для изохорического нагревания газа.
Дано: P1=0,1 МПа=0,1∙106 Па,
V=0,5 м3,
Т1=30 0С=303 К,
Т2=130 0С=403 К,
i=5.
Найти: Q.
Решение
Количество теплоты, необходимое для нагревания можно найти по формуле:
.
(2.1.1)
Здесь сV – удельная теплоемкость при постоянном объеме.
Молярная СV и удельная сV теплоемкости связаны соотношением:
.
(2.1.2)
Молярная теплоемкость при постоянном объеме:
, (2.1.3)
где i – число степеней свободы.
Из (2.1.2) и (2.1.3) следует, что
.
(2.1.4)
Молярную массу газа найдем из уравнения Менедлеева-Клапейрона, характеризующего начальное состояние газа:
,
(2.1.5)
.
(2.1.6)
Подставим (2.1.6) в (2.1.4), а затем полученное выражение подставим в (2.1.1):
,
(2.1.7)
,
(2.1.8)
.
(2.1.9)
Проверим размерность:
.
Подставим в (2.1.9) числовые данные и получим значение Q:
.
Ответ: количество теплоты Q=41кДж.
Пример 2.2. Какое количество теплоты поглощают 200 г водорода, нагреваясь от 0 до 100 0С при постоянном давлении? Каков прирост внутренней энергии газа? Какую работу совершает газ?
Дано: m = 200 г = 0,2 кг,
Т1 = 0 0С = 273 К,
Т2 = 100 0С = 373 К,
μ=2∙10-3 кг/моль.
Найти: Q, ΔU, A.
Решение
Запишем первое начало термодинамики:
. (2.2.1)
Здесь Q – количество теплоты, сообщенное водороду; ΔU – изменение внутренней энергии водорода; А – работа, совершенная водородом против внешних сил.
Изменение внутренней энергии газа определяется как
. (2.2.2)
Учитывая,
что количество вещества
и что водород является двухатомным
газом, т.е. i
= 5, перепишем
(2.2.2):
.
(2.2.3)
Подставим в (2.2.3) числовые данные:
Работа,
совершаемая водородом:
.
(2.2.4)
Изменение объема ΔV найдем, записав уравнения Менделеева-Клапейрона, характеризующие начальное и конечное состояния газа:
,
(2.2.5)
.
(2.2.6)
Вычтем из (2.2.6) (2.2.5):
.
(2.2.7)
Подставив (2.2.7) в (2.2.4), получим выражение для работы:
.
(2.2.8)
Рассчитаем работу:
.
Подставим числовые данные в (2.2.1) и рассчитаем значение количества теплоты:
.
Ответ: Q=291 кДж, ΔU=208 кДж, A=83 кДж.
Пример 2.3. Найти изменение энтропии при изобарическом расширении 6,6 г водорода от объема V1 до объема V2=2V1.
Дано: m = 6,6 г = 6,6∙10-3 кг,
V2 =2V1,
P = const,
μ=2∙10-3 кг/моль.
Найти: ΔS.
Решение
При переходе вещества из состояния 1 в состояние 2 изменение энтропии:
,
(2.3.1)
где 1 и 2 – пределы интегрирования, соответствующие начальному и конечному состояниям газа; Q – количество теплоты, сообщенное газу.
Согласно первому началу термодинамики:
,
(2.3.2)
где dU – изменение внутренней энергии газа; dА – работа, совершенная газом против внешних сил.
Изменение внутренней энергии газа:
.
(2.3.3)
Водород – двухатомный газ, следовательно, i=5.
Работа, совершаемая при изменении объема V газа:
.
(2.3.4)
Т.о.:
.
(2.3.5)
Давление, под которым находится газ и изменение температуры, найдем из уравнения Менедлеева-Клапейрона:
,
(2.3.6)
.
(2.3.7)
Подставим (2.3.6) и (2.3.7) в (2.3.5):
.
(2.3.8)
Полученное выражение подставим в (2.3.1):
.
Подставим числовые данные:
.
Ответ: изменение энтропии ΔS=66,5Дж/К.
Пример 2.4. На пластинах плоского конденсатора находится заряд 10 нКл. Площадь каждой пластины конденсатора равна 100 см2, диэлектрик – воздух. Определить силу, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.
Дано: Q = 10 нКл = 10∙10-9 Кл,
S = 100 см2 = 100 ∙10-4 м2,
ε = 1.
Найти: F.
Решение
Заряд Q одной пластины находится в поле напряженностью E1, созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила:
.
(2.4.1)
Так как:
,
(2.4.2)
где σ – поверхностная плотность заряда пластины, то формула (2.4.1) с учетом выражения (2.4.2) примет вид:
. (2.4.3)
Подставив числовые данные в (2.4.3), получим:
.
Ответ: Сила, с которой притягиваются пластины F=565мкН.
Пример 2.5. На схеме, представленной на рис.1, R1 = R, R2 = 2R, R3 = 3R, R4 = 4R. Емкость конденсатора равна C. Определить заряд на конденсаторе, если напряжение на батарее U0.
Рис. 3.
Дано: R1 = R,
R2 = 2R,
R4 = 4R,
С,
U0.
Найти: Q.
Решение
В данной схеме напряжение на конденсаторе будет определяться суммой напряжений на сопротивлениях R1 и R2. Поскольку ток через конденсатор не течет, то данная схема может быть заменена эквивалентной схемой. В результате этого для токов может быть записано
,
.
(2.5.1)
Поскольку сопротивления R2 и R3 соединены последовательно, то
.
(2.5.2)
Тогда
.
(2.5.3)
Полное сопротивление цепи определиться по формуле:
.
(2.5.4)
Применяя закон Ома, получаем для тока
.
(2.5.5)
Поскольку сопротивления R23 и R4 соединены параллельно, то напряжения в этих участках цепи равны и
.
(2.5.6)
Подставив значения сопротивлений, получаем
.
(2.5.7)
Поскольку токи, протекающие через сопротивления R23 и R3 дадут в сумме ток I0, мы можем записать
.
(2.5.8)
Отсюда, подставив значение I0, получаем
.
(2.5.9)
Тогда
.
(2.5.10)
Поскольку токи I1 и I2 известны, можно определить напряжение на конденсаторе
.
(2.5.11)
Подставив значение напряжения на конденсаторе, определим заряд конденсаторе
.
(2.5.12)
Ответ:
Заряд на конденсаторе
.