Примеры решения задач по теме №1
Пример 1.1. Автобус движется со скоростью 18 км/ч. С некоторого момента он начинает двигаться с ускорением a в течение 10 с, а последние 110 м проходит за одну секунду. Определить ускорение и конечную скорость автобуса.
Дано: =18 км/ч=5м/с,
t1=10 с,
t2=1 с,
S2=110 м.
Найти:
a,
Решение
В
есь
путь, проделанный автобусом, делится
на два S1
и S2
(рис.1).
Рис. 1.
Запишем для двух этих участков уравнения движения:
;
(1.1.1)
(1.1.2)
и законы изменения скорости:
; (1.1.3)
.
(1.1.4)
Подставим (1.1.3) в (1.1.2):
. (1.1.5)
Выразим a:
.
(1.1.6)
Подставим в (1.1.6) числовые данные:
.
Теперь подставим (1.1.3) в (1.1.4) и вычислим конечную скорость:
.
Ответ: ускорение автобуса a=10м/с2, конечная скорость автобуса =115м/с.
Пример 1.2. Колесо вращается с частотой 180об/мин. С некоторого момента колесо начинает вращаться равнозамедленно с угловым ускорением 3 рад/с2. Через какое время колесо остановится? Найти число оборотов колеса до остановки.
Дано: ν = 180об/мин=3об/с,
ε = 3 рад/с2.
Найти: t, n.
Решение
Запишем уравнение движения тела, совершающего равноускоренное, вращательное движение:
(1.2.1)
и закон изменения скорости
. (1.2.2)
Здесь Δφ – угол поворота тела за время t, ω0 и ω – угловая скорость тела в начальный момент времени и в момент времени t соответственно, ε – угловое ускорение.
Угол поворота Δφ связан с числом оборотов n соотношением:
.
(1.2.3)
Начальную угловую скорость ω0 найдем из соотношения:
.
(1.2.4)
С учетом (1.2.3) и (1.2.4), а также с учетом того, что колесо движется равнозамедленно, перепишем (1.2.1):
.
(1.2.5)
Из уравнения (1.2.2) найдем время до остановки колеса, т.е. время, когда угловая скорость ω стала равна нулю:
.
(1.2.6)
Рассчитаем время t:
.
Теперь подставим (1.2.6) в (1.2.5):
.
(1.2.7)
Выразим из (1.2.7) число оборотов n и подставим числовые данные:
.
Ответ: колесо остановится через 6,28 с; число оборотов n=9,4 оборота.
Пример 1.3. Шар массой 2 кг, движущийся горизонтально со скоростью =4 м/с, столкнулся с неподвижным шаром массой 3 кг. Считая удар центральным и абсолютно неупругим, найти количество теплоты, выделившееся при ударе.
Дано: m1 = 2 кг,
m2 = 3 кг,
= 4 м/с,
=
0 м/с.
Найти: Q.
Решение
Запишем закон сохранения импульса:
.
(1.3.1)
Здесь и – скорости первого и второго шаров до удара соответственно, u1 и u2 – скорости первого и второго шаров после удара соответственно. После неупругого столкновения тела движутся с одинаковой скоростью, поэтому u1 = u2 = u. Запишем проекцию уравнения (1.3.1) на направление движения шаров с учетом того, что =0 м/с:
.
(1.3.2)
При неупругом ударе закон сохранения энергии не выполняется. Разность между энергией системы до удара (ЕК1) и энергией после удара (ЕК2) равна количеству теплоты, выделившемуся при ударе:
.
(1.3.3)
Кинетическая энергия системы до удара:
.
(1.3.4)
Кинетическая энергия системы после удара:
.
(1.3.5)
Выразим из (1.3.2) u и подставим в (1.3.5):
.
(1.3.6)
С учетом (1.3.4) и (1.3.6) вычислим количество теплоты Q:
.
Ответ: количество теплоты, выделившееся при ударе Q=9,6 Дж.
Пример 1.4. На барабан радиусом 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой 12 кг. Найти момент инерции барабана, если груз опускается с ускорением 1,81 м/с2. Барабан считать однородным цилиндром. Трением пренебречь.
Дано: R=0,5м,
m=12 кг,
a=1,81 м/с2.
Н
айти:
J.
Решение
Рис. 2
Запишем основной закон динамики вращательного движения:
. (1.4.1)
Здесь J – момент инерции цилиндра относительно оси вращения, проходящей через центр масс, ε – угловое ускорение (ускорение вращательного движения), M – момент силы, заставляющей барабан вращаться. Такой силой является сила натяжения шнура Т. Модуль момента силы равен:
.
(1.4.2)
Из рис.2 видно, что α=900, поэтому:
.
(1.4.3)
Угловое ускорение ε связано с линейным ускорением a соотношением:
,
(1.4.4)
где R – радиус барабана.
С учетом (1.4.3) и (1.4.4) перепишем (1.4.1) в скалярном виде (вектор М и вектор ε направлены в одну сторону):
.
(1.4.5)
Выразим из (1.4.5) J:
.
(1.4.6)
Силу натяжения шнура Т найдем из второго закона Ньютона, записанного для поступательно движущегося груза (рис. 2):
.
(1.4.7)
Сила натяжения шнура, вращающая барабан и сила, действующая на груз, равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Проекция уравнения (1.4.7) на ось OY имеет вид:
.
(1.4.8)
Выразим из (1.4.8) Т и подставим полученное выражение в (1.4.6):
.
(1.4.9)
Проверим размерность:
.
Подставим в (1.4.9) числовые данные:
.
Ответ: момент инерции барабана J=12 м2кг.
Пример 1.5. Шар массой 0,25 кг и радиусом 3 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости с частотой вращения 4 об/с. Найти кинетическую энергию шара.
Дано: m=0,25 кг,
R=3 см=3∙10-2 м,
ν= 4 об/с.
Найти: EК.
Решение
Кинетическая энергия шара, который катится по горизонтальной плоскости без скольжения, складывается из энергии поступательного и вращательного движения:
, (1.5.1)
где m – масса шара, – линейная скорость (скорость поступательного движения), J – момент инерции шара относительно оси вращения, проходящей через центр масс, ω – угловая скорость (скорость вращательного движения).
Известно, что для шара радиусом R
. (1.5.2)
Угловая скорость ω связана с линейной скоростью соотношением:
, (1.5.3)
а с линейной частотой ν соотношением
. (1.5.4)
Подставим (1.5.2), (1.5.3) и (1.5.4) в (1.5.1) и сделаем необходимые преобразования:
.
(1.5.5)
Подставим в (1.5.5) числовые данные:
.
Ответ: кинетическая энергия шара ЕК=0,1 Дж.