Тема 4. Исследование функции с помощью производных и построение ее графика

1. Возрастание и убывание функции на интервале и их связь со знаком первой производной.

2. Точки максимума и минимума функции (точки экстремума). Необходимое условие экстремума функции одной переменной. Критические точки функции.

3. Проверка критической точки на существование в ней экстремума с помощью знака первой производной. Достаточный признак экстремума, основанный на знаке первой производной.

4. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной и кусочно-дифференцируемой функции на отрезке.

5. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба и их связь со знаком второй производной.

6. Понятие асимптоты графика функции. Вертикальные, наклонные асимптоты и их отыскание.

7. Общая схема полного исследования функции: область определения; исследование поведения функции на границе ее области определения (предел функции на границе, асимптоты); нахождение первой производной; определение с ее помощью критических точек, интервалов возрастания и убывания функции и точек экстремума; нахождение второй производной; определение с ее помощью интервалов выпуклости и вогнутости графика функции и точек перегиба. Построение ее графика по результатам исследования.

Литература: [1, гл. V, упр. 3, 14, 22, 27, 32, 34, 40, 52, 54, 62, 67-71, 75, 78, 84, 95, 103]; [2, гл. VII, §2]; [4, гл. V, § 25]; [5].

Раздел III. Неопределенные интегралы

Тема 1. Неопределенные интегралы

1. Первообразная и неопределенный интеграл.

2. Свойства неопределенного интеграла.

3. Таблица простейших интегралов.

4. Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

5. Формула интегрирования по частям.

6. Интегрирование простейших рациональных дробей.

7. Метод неопределенных коэффициентов разложения правильной рациональной дроби на простейшие.

8. Интегрирование тригонометрических выражений:

Универсальная тригонометрическая подстановка.

Литература: [1]; [3, гл. IX]; [4]; [7].

Тема 2. Определенный интеграл

1. Понятие определенного интеграла и его вычисление по формуле

Ньютона-Лейбница. Основные свойства определенного интеграла.

2. Замена переменной в определенном интеграле.

3. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

4.Вычисление площади.

5. Вычисление длинны дуги кривой.

6. Вычисление объема тела вращения.

Литература: [1]; [3, гл. X]; [4]; [7].

Тема 3. Несобственные интегралы

1. Несобственные интегралы I рода (по бесконечному промежутку).

2. Несобственные интегралы II рода (от разрывных функций).

Литература: [1]; [3, гл. X, §2]; [4]; [7, гл. VIII, §40].

Задачи для контрольной работы

Студент определяет свой вариант следующим образом: если двузначное число, на которое оканчивается номер вашего шифра (номер вашей зачетной книжки), меньше 20, то это двузначное число и есть номер вашего варианта; если двузначное число больше 20 и делится на 20 без остатка – номер вашего варианта 20. Если в результате деления образуется остаток (например, 5 или 16), то этот остаток и есть номер вашего варианта.

Условие задачи состоит из общей для всех вариантов формулировки и двадцати вариантов конкретных данных. Во всех заданных вам задачах вам нужно выполнить решение своего варианта.

При оформлении контрольной работы условия задач следует обязательно переписывать полностью. Контрольная работа выполняется в отдельной тетради с полями и сдается для проверки в установленное деканатом время. В случае незачета, надо сделать работу над ошибками (в этой же тетради) и повторно сдать тетрадь на проверку.