Раздел II. Неопределенные интегралы
Тема 1. Неопределенные интегралы
1. Первообразная и неопределенный интеграл.
2. Свойства неопределенного интеграла.
3. Таблица простейших интегралов.
4. Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
5. Формула интегрирования по частям.
6. Интегрирование простейших рациональных дробей.
7. Метод неопределенных коэффициентов разложения правильной рациональной дроби на простейшие.
8.
Интегрирование тригонометрических
выражений:
Интегрирование выражений
методом универсальной тригонометрической
подстановки.
9. Интегрирование некоторых иррациональных выражений.
Литература: [1]; [2, гл. IX]; [4]; [5, гл. VII, §29-33]; [6, стр. 5-16].
Тема 2. Определенный интеграл
1. Понятие определенного интеграла и его вычисление по формуле
Ньютона-Лейбница.
2. Основные свойства определенного интеграла.
3. Замена переменной в определенном интеграле.
4. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
5.Вычисление площади криволинейной трапеции и площади
криволинейного сектора в полярной системе координат.
6. Вычисление длинны дуги кривой.
7. Вычисление объема тела вращения.
8. Физические приложения определенного интеграла.
9. Численное интегрирование: формулы прямоугольников, трапеций,
Симпсона.
Литература: [1]; [2, гл. X]; [4]; [5, гл. VIII, §35-39]; [6, стр. 17-20].
Тема 3. Несобственные интегралы
1. Несобственные интегралы I рода (по бесконечному промежутку).
2. Несобственные интегралы II рода (от разрывных функций).
Литература: [1]; [2, гл. X, §2]; [4]; [5, гл. VIII, §40]; [6, стр. 21-22, стр. 41].
Тема 4. Двойные интегралы
1. Определение двойного интеграла, его геометрический смысл.
2. Свойства двойного интеграла.
3. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.
4. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.
5. Вычисление объемов и площадей плоских фигур.
6. Механические приложения двойного интеграла: вычисление массы, статических моментов, моментов инерции, координат центра тяжести плоской пластины.
Литература. [1, т. 2, гл. XIV, §§ 1-10], [2, ч. 2, гл. I, §§ 1-6], [4, гл. XI, §53].
Тема 5. Криволинейные интегралы
1. Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода (по дуге).
2. Формула для вычисления криволинейного интеграла первого рода.
3. Вычисление длины дуги.
4. Вычисление массы материальной дуги, ее моментов инерции, координат ее центра тяжести.
5. Определение и свойства криволинейного интеграла второго рода (по координатам).
6. Формула для вычисления криволинейного интеграла второго рода.
7. Вычисление площади плоской фигуры.
8. Вычисление работы переменной вектор-силы.
Литература. [1, т. 2, гл. XV, §§ 1-4], [2, ч. 2, гл. I, §§ 1-4], [4, гл. XII, §§ 55, 56].
Контрольная работа №3
Задача 1. Дана функция z=f(x,y).
а) Вычислить приближенно значение функции в заданной точке, используя полный дифференциал функции в подходящей точке (x0,y0) .
б) Написать уравнение касательной плоскости к графику функции в точке (x0,y0) из предыдущего пункта.
в)
Найти производную по направлению
в точке
г) Найти экстремум этой функции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. 
,
.
12. 
,
.
13. 
,
.
14. 
,
.
15. 
,
.
16. 
,
.
17. 
,
.
18. 
,
.
19. 
,
.
20. 
,
.
Задача 2. Найти неопределенные интегралы. В пп. а) и б) результаты проверить дифференцированием.
1.
a)
; б)
; в)
2.
а)
; б)
; в)
.
3.
а)
; б)
;
в)
4.
а)
б)
в)
5.
а)
; б)
; в)
6.
а)
; б)
; в)
7.
а)
; б)
; в)
8.
а)
; б)
; в)
9.
а)
; б)
в)
.
10.
а)
; б)
; в)
11.
а)
б)
; в)
12.
а)
; б)
; в)
.
13.
а)
; б)
в)
14.
а)
; б)
; в)
15.
а)
; б)
; в)
16.
а)
б)
в)
17.
а)
б)
в)
.
18.
а)
; б)
; в)
.
19.
а)
; б)
; в)
20.
а)
б)
в)
