Метод наименьших квадратов как частный случай метода максимального правдоподобия.
Пусть
случайная величина Х имеет нормальное
распределение с параметрами
,
т.е. функция
плотности
,
причем
числовое значение параметра
неизвестно, а значение параметра
известно. Для нахождения оценки параметра
воспользуемся методом максимального
правдоподобия.
Функция правдоподобия
Найдем
(**)
Найдем
max
функции
,
рассматривая ее как функцию параметра
«а». Однако не будем использовать первую
и вторую производные функции
,
а поступим следующим образом. Из
равенства (**) видно, что функция
,
рассматриваемая как функция от «а»,
достигает максимального значения в том
и только в том случае, когда сумма
достигает минимального значения, таким
образом, в случае нормального распределения
оценку
максимального правдоподобия можно
определить как точку минимума функции:
,
т.е. из условия
(***)
Метод нахождения оценки параметра «а» в соответствии с последним требованием (***) называется методом наименьших квадратов.
Найдем точку минимума функции F(a)
Найдем критическую точку из условия
.
Т.к.
вторая производная
при
любом значении «а», в том числе и при
,
то
– точка min
функции
и ее нужно принять в качестве оценки
максимального правдоподобия параметра
«а». Итак
Следует знать.
1). Оценки, получаемые методом наименьших квадратов и методом максимального правдоподобия, не всегда совпадают.
2)
При оценивании параметра
нормального
распределения предполагалось, что
значение дисперсии
неизвестно. Если не известны ни
,
ни
,
то функцию
следует
рассматривать как функцию от
и
и для нахождения оценок
и
максимального
правдоподобия следует решить систему
уравнений правдоподобия:
Основные принципы статистического контроля качества в ходе производства
Рассмотрим контроль некоторого количественного параметра, например, размер обрабатываемой детали.
Пусть процесс производства приведены в устойчивое состояние.
Будем
считать сначала, что распределение
размеров детали точно или приближенно
следует нормальному закону с центром
и дисперсией
.
За
и
можно принять среднюю и дисперсию
размеров достаточно большой партии
деталей
.
Если
следить непрерывно за производственным
процессом, можно отметить, что большинство
размеров будет очень мало отличаться
от средней
.
Если
распределение размеров точно подчиняется
нормальному закону, то можно ожидать,
что в достаточно большой партии деталей,
приблизительно в 95 % деталей , размеры
будут отличаться от средней
не больше, чем на
,
приблизительно в 99,7% деталей размеры
будут отличаться от средней а
не больше, чем
.
Это
значит, что деталей, размеры которых
отличаются от средней
более, чем на утроенную сигму (
) можно ожидать примерно три тысячу.
Поэтому, если в небольшой партии деталей
обнаружена деталь с размером, отличающимся
от средней более, чем на утроенную сигму,
то это сигнализирует о нарушении
нормальности распределения или о
появлении систематической ошибки, т.е.
о нарушении устойчивости производственного
процесса.
На этом принципе, главным образом, и основан систематический контроль качества продукции в ходе ее производства. Однако практическое осуществление контроля в указанной форме было бы мало эффективным. Это объясняется тем, что практически распределение размеров деталей более или менее отличается от нормального.
Эффективность указанного метода можно увеличить, рассматривая не размеры каждой детали в отдельности, а средние размеры деталей в последовательных равновеликих партиях.
Действительно,
мы знаем, что средние размеры партии из
деталей будут достаточно точно следовать
нормальному закону распределения с тем
же центром
и с дисперсией
.
Поэтому, если через определенные
промежутки времени выбирать партию из
обработанных деталей, то средний размер
в партии может случайно отклоняться
от
не более, чем
,
то это свидетельствует о наличии
систематических ошибок, т.е. о нарушении
устойчивости производственного процесса.