ФГБОУ ВПО

«Воронежский государственный технический университет»

Кафедра «Высшая математика

и физико-математическое моделирование»

Применение методов математической статистики при контроле качества продукции в ходе её производства и контроле готовой продукции

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

для организации самостоятельной работы студентов

направления 221700.62 «Стандартизация и метрология», профиль «Стандартизация и сертификация»

Воронеж 2014

Составитель: ст. преп. С.А. Фурсова.

УДК. 519.2

Применение методов математической статистики при контроле качества продукции в ходе её производства и контроле готовой продукции. Методические указания для организации самостоятельной работы студентов направления 221700.62 «Стандартизация и метрология», профиль «Стандартизация и сертификация» /ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. С.А. Фурсова. Воронеж, 2014. 24 с.

В методических указаниях содержатся основные определения курса «Математическая статистика»: оценивание числовых характеристик, законы распределения случайных величин, проверка гипотез. Рассматривается стратегия применения статистических методов при оценивании качества продукции в ходе её производства и качества готовой продукции. Особое внимание уделено задачам, включающим новые понятия, такие как состоятельность, несмещенность и эффективность оценки генеральной характеристики .

Методические указания могут быть использованы для организации различных видов занятий, а также окажут существенную помощь при выполнении курсовой работы; предназначены для студентов направления 221700.62 «Стандартизация и метрология», профиль «Стандартизация и сертификация» второго года обучения.

Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе МS 2003 и содержатся в файле МЕТОДИЧКА 2014. Doc.

Библиогр.: 11 назв.

Рецензент канд.. физ.-мат. наук, доц. М.В. Юрьева

Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов

© ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2014

Предмет и задачи математической статистики

Математической статистикой называется наука, занимающая обработкой опытных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями. Любой такой результат представить как совокупность значений, принятых в результатов «n» опытов какой-то случайной величиной или системой случайных величин.

Перед любой наукой ставятся в порядке возрастания сложности и важности следующие задачи:

1. _{описание явлений,}

2. _{анализ и прогноз,}

3. _{выработка оптимальных решений.}

_{Стоят такие задачи и перед математической статистикой.}

_{Пример задачи первого типа: в распоряжение исследователей поступил статистический материал. Как его упорядочить, представить в наиболее удобном для обозрения и анализа виде? Какими формами таблиц, графиков лучше всего пользоваться?}

Пример задачи второго типа: как на основании статистических данных, оценить, хотя бы приближенно, интересующие характеристики. С какой точностью, при данном количестве опытов будут оцениваться эти характеристики?

Пример задачи третьего типа: назначить число опытов достаточное для того, чтобы разница между частотой события p* и его вероятностью p с достаточно большой вероятностью не превзошли заданной величины ε или для того, чтобы ошибка от замены математического ожидания средним арифметическим была не больше заданной.

Одной из задач третьего типа является «задача проверки правдоподобия гипотез» В результате проверки правдоподобия гипотезы может быть сделан один из выводов: 1) отбросить гипотезу, как противоречащую опытным данным; 2) не отбрасывать гипотезу, считать ее приемлемой.

Статистические оценки параметров распределения

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию наблюдаемых случайных величин.

Для того, чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, или должны удовлетворять определенным требованиям.

Несмещенной называют оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру θ, т.е.

Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру. Однако возможные значения могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения, чтобы исключить такую возможность, необходимо потребовать, чтобы величина была мала.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию.

При рассмотрении выборок большого объема ( n велико) к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.

Выборочной средней называют среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности.

Если все значения признака выборки объема n различны, то

Если же значения признака имеют соответственно частоты , причем, , то

Доказано, что выборочная средняя есть несмещенная оценка генеральной средней, также можно показать, что выборочная средняя является n состоятельной оценкой генеральной средней. Для того, чтобы охарактеризовать рассеяние наблюденных значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения .вводят сводную характеристику – выборочную дисперсию.

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .

Если все значения признака выборки объема n различны, то

.

Если же значения имеют соответственно частоты , причем

,

т.е. выборочная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонений с весами, равными соответствующим частотам.

Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратичный корень из выборочной дисперсии.

.

Доказано, что является смещенной оценкой дисперсии. Легко исправить выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии, для этого достаточно умножить на дробь . Получим «исправленную дисперсию», которую обычно обозначают через .

.

Исправленная дисперсия является несмещенной оценкой генеральной дисперсии. Несмещенной оценкой среднего квадратического отклонения является .

Сравнивая формулы для и видим, что они отличаются лишь знаменателями и , что при достаточно больших объемах выборки и почти равны, поэтому формулой для пользуются в основном при небольших объемах выборки .