Задача 8 (решить самостоятельно)
В
толстой стальной плите сделан сквозной
паз шириной и глубиной по 1 см. В этот
паз плотно, без зазора, вставлен
алюминиевый кубик размером 1×1×1 см,
сжатый, как указано на рисунке, силой
Р=600 кг. Считая плиту несжимаемой,
определить все главные напряжения в
кубике. Для алюминия
Ответ:
Задача 9
Сплошной
медный цилиндр диаметром D = 50 мм заключен
в стальную рубашку толщиной t = 1 мм.
Цилиндр сжат силами Р = 20 т. Определить
растягивающие напряжения в цилиндре,
приняв коэффициент поперечной деформации
для меди
.
Трением между цилиндром и рубашкой
пренебречь.
Решение
Вырежем из тела цилиндрик с ребром, равным единице. По верхней и нижней его граням напряжения будут равны
Напряжения
по боковым граням будут также сжимающими
и ввиду симметрии одинаковыми. Обозначим
их
Эти же напряжения являются удельным
давлением на внутреннюю поверхность
трубчатой рубашки. Как известно,
растягивающие напряжения в цилиндре в
направлении, перпендикулярном к
образующей, при наличии внутреннего
давления q равны
откуда
Напряжений, параллельных образующей, в трубке не будет, так как в этом направлении отсутствует нагрузка (силы трения между стержнем и трубкой не учитываются).
Для
определения напряжений
обратимся к рассмотрению деформаций.
Относительная поперечная деформация
медного цилиндра одинакова с относительной
поперечной деформацией вырезанного из
него кубика:
Относительная деформация диаметра трубки, равная относительной деформации ее периметра:
равна относительной поперечной деформации цилиндра:
=
Подставим в это уравнение значения и :
и заменим q его выражением через :
Решив это уравнение относительно и подставив численные значения остальных величин, определим напряжение :
Задача 10 (решить самостоятельно)
Цилиндр
диаметром 5 см и длиной 5 см сделан из
алюминия. Он окружен стальной трубкой
с внутренним диаметром 5 см, внешним 5,6
см. Цилиндр сжат вдоль оси напряжениями
Какова будет деформация цилиндра вдоль
его оси? Как изменится деформация
цилиндра, если внутренний диаметр трубки
будет равен 5,005 см? Для алюминия принять
Ответ:
1)
2)
Тема3. Сложное напряженное состояние Задача 11
Определить
наибольшую величину нормального
напряжения в коническом резервуаре (с
углом при вершине
),
подвешенном по окружности сечения АВ
и наполненном водой на высоту
.
Толщина стенок равна 4 мм.
Решение
В
стенке наполненного жидкостью резервуара
возникают растягивающие напряжения:
(в меридиональном направлении по
образующей) и
(в тангенциальном направлении). Для
вычисления этих напряжений имеем
формулы:
,
,
где
- объемный вес жидкости, а
- расстояние по оси конуса от его вершины
до площадки, где определяются напряжения.
Напряжения
и
меняются в зависимости от расстояний
по параболическому закону. Определим
положение площадок с наибольшими
значениями этих напряжений. Для этого
приравняем к нулю производные выражений
для
и
по
;
имеем
Откуда
(на уровне GH).
Подставляя
значения
и
и данные задачи в выражение для
и
,
находим
и
Ответ:
наибольшее нормальное напряжение
