Расчетно - графическая работа №7 Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях численными методами

7.1. Цель работы - расчет переходных процессов в линейной электрической цепи численным методом с использованием представления матричной экспоненты в виде ряда.

7.2. Подготовка к работе

7.2.1. Изучите методы численного решения уравнений переменных состояния с помощью разложения матричной экспоненты в ряд.

7.2.2. Ответьте на все вопросы для самопроверки письменно.

7.3. Порядок выполнения работы

7.3.1. Решите систему дифференциальных уравнений для переменных состояния = [A] [X]+[B] [V]

численным методом, используя представление матричной экспоненты в виде ряда, т.е.

e^{[A] t}=[1]+([A] t)/1!+([A]² t²)/2!+([A]³ t³)/3!+ … .

Общее решение (6.1) с учетом использования метода численного интегрирования на основе правила прямоугольников может быть приведено к следующей рекуррентной формуле

[X_k+1]=[Q_m] {[X_k]+h [B] [V(kh)]} (k=0, 1, 2, …), (7.1)

где [Q_m]=[1]+[A]/(R 1!)+[A]²/(R² 2!)+[A]³/(R³ 3!)+ … +[A]^m/(R^m m!),

h=1/R - шаг интегрирования, причем t_k=k h=k/R; x_k=x(t_k) (k=0, 1, 2, …).

Значение R определяется соотношением

R=>C||A|| (7.2)

где ||A|| - норма матрицы [A], определяемая соотношениями

или ,

практически выбирается наибольшая из сумм модулей элементов каждого из столбцов или каждой из строк. Величина R представляет собой округленное значение ||A|| с учетом (7.2). Значение С можно принимать равным единице.

Правильность выбора R можно проверить, вычислив норму ||Q_m||. Если ||Q_m||<I, то все _i лежат внутри круга радиусом R, что в конечном итоге обеспечивает хорошую сходимость вычислительного процесса. Процедура вычислений предполагает последовательное выполнение предлагаемых ниже этапов.

7.3.1.1. На основе определения норм ||A||_I и ||A||_II задайте значение R и определите шаг h.

7.3.1.2. Задав значение m=1, определите по известной матрице [A] матрицу [Q₁].

7.3.1.3. Учитывая, что [V] в данной задаче не зависит от времени, следует определить [F]=[B] [V]

7.3.1.4. Используя найденные значения [X₀] (п. 6.3.2.6.), [F], [Q_m], найдите вектор [X₁] по формуле (7.1).

Используя полученное значение [X₁], определите по этой же формуле вектор [X₂] и т. д.

7.3.1.5. Для выбранного в п. 7.3.1.1 шага h, определите значение [X₁], [X₂] и т.д. по точной формуле (6.1).

7.3.1.6. Если различие между точным и приближенными значениями достаточно велико, задайте m=2 и повторите п. п. 7.3.1.2 – 4. Если этого значения m окажется недостаточно, то повторите указанный цикл для m=3 и более.

7.3.1.7. Учитывая, что в данной задаче число переменных состояния равно двум, вычисления по формуле (7.1) удобно осуществить, предварительно составив небольшую программу на основе известных программ умножения и сложения матриц. Это гораздо ускорит процедуру вычислений.

7.3.1.8. Постройте на одном графике кривые для переменных состояния по точным и приближенным формулам.

7.3.1.9. Сделайте вывод о возможностях использования предложенного численного метода при расчете переходных процессов в линейных электрических цепях.

Вопросы для самопроверки:

1. Что такое норма матрицы? Как она может быть вычислена?

2. Как записывается рекуррентная формула для определения текущего значения переменных состояния?

3. Как определить правильно шаг вычислений?

4. Каким образом можно обеспечить хорошую сходимость вычислительного процесса и как ее проверить?

5. Как можно улучшить точность вычислений по рекуррентной формуле?

6. Как производятся операции сложения и умножения над матрицами?

7. Каким образом осуществляется переход от переменных состояния [X] к выходным переменным [Y]?

Оглавление