Расчетно - графическая работа №6 Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях методом переменных состояний
6.1. Цель работы - расчет переходных процессов в линейной электрической цепи методом переменных состояния.
6.2. Подготовка к работе
6.2.1. Изучите по [1] методику формирования уравнений переменных состояния.
6.2.2. Изучите по [1] методику решения уравнений переменных состояния.
6.2.3. Ответьте на все вопросы для самопроверки письменно.
6.3. Порядок выполнения работы
6.3.1. Повторяет п. 1.3.1.
6.3.2. Рассчитайте токи ветвей схемы после коммутации с помощью метода переменных состояния, выполняя последовательно пункты предлагаемого ниже алгоритма.
6.3.2.1- 4. Повторяют п. 5.3.2.1- 4 .
6.3.2.5. Перейти от системы дифференциальных уравнений для токов ветвей к системе дифференциальных уравнений для переменных состояний:
=[A]
[X]+[B]
[V].
6.3.2.6. Запишите матрицы [X], [A], [B], [V], а также матрицу начальных условий [Xо] (п. 5.3.3.4).
6.3.2.7. Найдите уравнения связей искомых выходных параметров [Y] (матрица токов ветвей [I] в данной работе) и переменных состояния [X], т.е.
[Y]=[C] [X]+[D] [V].
6.3.2.8. Запишите матрицы [Y]=[I], [C], [D].
6.3.2.9. Найдите решение системы уравнений переменных состояния, пользуясь его общим видом
(6.1)
Согласно теореме Гамильтона-Кэли для любой функции f ([A]) существует многочлен р([A]) такой, что
f([A])=p([A])=0[1]+1[A]+2[A]2+ … +n-1[A]n-1.
Матричная экспонента представляется суммой вида
e[A]t=0[1]+1[A]+2[A]2+ … +n-1[A]n-1.
Значения к находятся из системы уравнений
f(i)=p(i), i=1, … n.
В частности, для матричной экспоненты уравнения будут иметь вид
eit=0+1i+2i2+ ... +n-1in-1,
где i (собственные значения матрицы [A]) находятся из характеристического уравнения:
det([1]-[A])=0.
6.3.2.10. Найдите токи ветвей, используя уравнение связей (п. 6.3.2.7-8).
6.3.3. На основе полученных результатов, постройте временные диаграммы для переменных состояния и токов ветвей, используя замечания п. 5.3.3.
Вопросы для самопроверки:
1. Как записать в общем виде систему линейных дифференциальных уравнений? Почему такая система считается линейной? Как записать такую систему в матричной форме?
2. Что представляет собой матрица системы [A]? Как записать характеристическое уравнение матрицы [A] и найти ее собственные значения?
3. Как получить фундаментальную систему решений?
4. Как отразится в решении наличие комплексных и кратных корней характеристического уравнения?
5. Какие физические величины выступают в роли переменных состояния в электрических цепях? Какова структура и каков физический смысл матриц [A], [B], [V]?
6. Как записывается решение системы уравнений для переменных состояния? В чем состоит трудность практического использования этой общей формы записи решения.
7. Как представить произвольную функцию f от матрицы [A] в виде матричного многочлена p([A])=0[1]+1[A]+2[A]2+ … +n-1[A]n-1?
8. Как получить систему уравнений для определения коэффициентов к для матричной экспоненты?
9. Какой вид имеет характеристическое уравнение матрицы [A] размерностью 2х2?
10. В чем основная трудность получения точного решения системы уравнений для переменных состояния?
Оглавление