3. Дисконтирование по простым процентам
При заключении финансовых соглашений часто приходится решать задачу, обратную задаче нахождения наращенной суммы. Например, по заданной сумме, которую предполагают получить (или уплатить) через время t, требуется определить величину капитала Р, который необходимо инвестировать в данный момент, чтобы через время t при постоянной процентной ставке получить сумму F. Аналогичная задача (нахождение Р по F) возникает и в том случае, когда проценты удерживаются непосредственно при выдаче ссуды (Р).
Как уже упоминалось, такое движение денежных средств от будущего к настоящему носит название дисконтирования. Говорят, что капитал F дисконтируется (или учитывается); величина удержанных процентов часто называется дисконтом. Заметим, что так же иногда называют и учетную ставку. Капитал Р, найденный с помощью процесса дисконтирования суммы F, в зависимости от контекста называется приведенной (современной, текущей, капитализированной) стоимостью. Понятие приведенной стоимости является одним из важнейших в количественном анализе финансовых операций.
Рассмотрим вначале математическое дисконтирование, являющееся процессом, обратным наращению первоначального капитала. При математическом дисконтировании решается задача нахождения такой величины капитала Р, которая через n лет при наращении по простым процентам по ставке r будет равна F. Решая (2.1) относительно Р, получим
.
(3.1)
Таким
образом, величина Р
является приведенной стоимостью величины
F.
Дисконт - фактор (дисконтный множитель,
коэффициент дисконтирования)
показывает
долю капитала
Р
в F
и
представляет собой величину, обратную
множителю наращения
простых процентов в формуле (2.1).
В качестве ставки дисконтирования используется процентная ставка r. Разность Дr между F и Р называется дисконтом:
.
(3.2)
Банковское дисконтирование, или банковский учет применяется при операции по так называемому учету векселей банком или другим финансовым учреждением.
Согласно международному вексельному законодательству, вексель является письменным безусловным обязательством или указанием векселедателя (заемщика) выплатить в установленный срок определенную сумму предъявителю векселя или лицу, указанному в векселе. Существуют различные виды векселей: простые, проводные, коммерческие, казначейские и т.д.
Векселя могут оформляться по-разному, однако чаще всего банку приходится иметь дело с суммой к погашению. Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда владелец векселя на сумму F (сумма к погашению) предлагает банку раньше срока оплаты векселя купить его. Такая покупка векселя у владельца до наступления срока оплаты по цене, меньшей той суммы, которая должна быть выплачена по векселю в конце срока, называется дисконтированием векселя. Сама операция дисконтирования векселя часто называется учетом векселя. Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учете векселя, называется дисконтированной величиной векселя.
Таким
образом, векселедержателю досрочно
выплачивается обозначенная в векселе
сумма за вычетом определенных процентов,
удерживаемых банком
в свою пользу, она нередко называется
дисконтом. Дисконт (обозначенный
)
в этом случае представляет собой
проценты, начисленные за время (n)
от дня
дисконтирования до дня погашения векселя
на сумму (F),
подлежащую уплате в конце срока. Если
объявленная банком ставка дисконтирования
равна d
(учетная
ставка), то
,
(3.3)
и владелец векселя получит
Р = F - F nd = F (1 - nd), (3.4)
где множитель (1 - nd) называется дисконтным множителем или коэффициентом дисконтирования. Из формулы (3.3) видно, что величина дисконта пропорциональна и времени и ставке. Дисконтирование по формуле (3.4) называется банковским (коммерческим) дисконтированием.
Очевидно, что чем выше значение дисконтной ставки, тем большую сумму удерживает банк в свою пользу. Учет векселя чаще всего осуществляется способом 365/360.
Пример
Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 50 тыс. р. со сроком погашения 28.09.2011 г. Вексель предъявлен 13.09.2011 г. Банк согласился учесть вексель по учетной ставке 30 % годовых. Определить сумму, которую векселедержатель получит от банка.
Величина
этой суммы рассчитывается по формуле
(3.4) и при F
= 50 тыс. р.,
и составит:
тыс.р.
Разность между F (номинальной величиной векселя) и Р (дисконтированной величиной векселя), равная , представляет собой комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу за предоставленную услугу. В данном примере:
= 50 - 49,375 = 0,625 тыс. р.
При учете денежных обязательств (и, в частности, векселей) банк может использовать процентную ставку и математическое дисконтирование.
В этом случае владелец денежного обязательства получит сумму, определяемую формулой (3.1), а комиссионные банка находятся по формуле (3.2).
Пример
Вексель на сумму 15 тыс. р. предъявлен в банк за 90 дней до срока его погашения. Банк учитывает вексель по простой процентной ставке 22% годовых. Определить сумму, полученную предъявителем векселя, и величину дисконта банка, если при учете использовался способ 365/365.
Полагая
по формулам (3.1) и (3.2) находим
тыс.р.;
тыс.р.
Если бы банк использовал простую учетную ставку d = 22 % годовых и способ 365/360, то по формулам (3.3) и (3.4.) можно получить
тыс.
р.
Р = 15 - 0,825 = 14,175 тыс. р.
Естественно, математическое дисконтирование выгоднее для векселедержателя, а банковское дисконтирование ‑ для банка.