2. Наращение простыми процентами
Ссудо-заемные операции, составляющие основу коммерческих вычислений, имеют давнюю историю. Именно в этих операциях и проявляется, прежде всего, необходимость учета временной ценности денег. Несмотря на то, что в основе расчетов при анализе эффективности ссудо-заемных операций заложены простейшие на первый взгляд схемы начисления процентов, эти расчеты многообразны ввиду вариабельности условий финансовых контрактов в отношении частоты и способов начисления, а также вариантов предоставления и погашения ссуд.
Предоставляя свои денежные средства в долг, их владелец получает определенный доход в виде процентов, начисляемых по некоторому алгоритму в течение определенного промежутка времени. При этом выделяется некоторый основной интервал времени, который называется базовым. Поскольку стандартным временным интервалом в финансовых операциях является один год, наиболее распространен вариант, когда это год берется в качестве базового интервала и процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процентов по истечении года после получения ссуды. В этом случае будем опускать индекс у процентной ставки r1 (как в дальнейшем и d1 , v1) и писать просто r (соответственного d, v). Известны две основные схемы дискретного начисления, т.е. начисления процентов за фиксированные в договоре интервалы времени:
схема простых процентов (simple interest);
схема сложных процентов (compound interest).
Схема простых процентов предполагает неизменность величины, с которой происходит начисление. Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р; требуемая доходность - r (в десятичных дробях). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину Р*r. Таким образом, размер F инвестированного капитала через n лет будет равен
(2.1)
так как проценты начисляются на одну и ту же величину капитала в течение всего срока.
Выражение (2.1) называется формулой наращения по простым процентам или формулой наращения простыми процентами, а множитель (1+nr) - множителем наращения или коэффициентом наращения простых процентов. Очевидно, множитель наращения равен индексу роста капитала Р за n лет. При этом приращение капитала:
I
= P
n
,
(2.2)
пропорционально сроку ссуды и ставке процента, т.е. можно сделать вывод, что доход инвестора растет линейно вместе с n.
На практике процентная ставка r может зависеть от величины исходного капитала Р: с увеличением капитала Р увеличивается и устанавливаемая ставка r.
Отметим, что если ставка r дана в процентах, то при использовании формулы (2.1) ставку нужно выразить в десятичных дробях.
Пример
Найдите величину процента и наращенную сумму за трехлетний кредит в размере 20 тыс. р., взятый под 9 %.
Здесь Р = 20 тыс. p., n = 3 года, r = 0,09.
Тогда, I = P n r = 20 ∙ 3 ∙ 0,09 = 5,4 тыс. р.,
F = Р + I = 20 + 5,4 = 25,4 тыс. р.
Обратим внимание на размерности величин, определяющих процентный платеж (2.2). Так как Р измеряется в денежных единица, n - в единицах времени (годах), то размерностью r является 1/(единица времени) или 1/(год) т.е. размерности n и r всегда должны быть согласованы.
С этих позиций наращение по простым процентам в случае, когда продолжительность n финансовой операции не равна целому числу лет (например, меньше года), определяется по формуле
,
(2.3)
где t ‑ продолжительность финансовой операции в днях;
Т ‑ количество дней в году.
Наращение по простым процентам применяется при обслуживании сберегательных вкладов с ежемесячной выплатой процентов и вообще в тех случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору. Простые проценты применяют и при выдаче широко распространенных краткосрочных ссуд, т.е. ссуд, предоставляемых на срок до одного года с однократным начислением процентов.
Пример
Клиент поместил в банк вклад в сумме 3,5 тыс. р. под 24 % годовых с ежемесячной выплатой процентов. Какую сумму клиент будет получать каждый месяц?
Решение.
По условию Р
= 3,5 тыс. р.,
года, r
= 0,24, то по формуле (2.2) имеем:
I
=3,5 ∙
∙ 0,24 = 0,07 тыс. р.
Определяя продолжительность финансовой операции, принято день выдачи и день погашения ссуды считать за один день. В зависимости от того, чему берется равной продолжительность года (квартала, месяца), получают два варианта процентов:
точный процент, определяемый исходя из точного числа дней в году (365 или 366), в квартале (от 89 до 92), в месяце (от 28 до 31);
обыкновенный процент, определяемый исходя из приближенного числа дней в году, квартале и месяц (соответственно 361, 90, 30 дней).
При определении продолжительности периода, на который выдана ссуда, также возможны два варианта:
принимается в расчет приблизительное число дней ссуды (расчет ведется по дням);
принимается в расчет приблизительное число дней ссуды (исходя из продолжительности месяца в 30 дней).
Для упрощения процедуры расчета точного числа дней пользуются специальными таблицами (одна для обычного года, вторая для високосного), в которых все дни в году последовательно пронумерованы.
Продолжительность финансовой операции определяется вычитанием номера первого дня из номера последнего дня (прил. 1).
В том случае, когда в расчетах используется точный процент, берется и точная величина продолжительности финансовой операции; при использовании обыкновенного процента может применяться как точное, так и приближенное число дней ссуды. Таким образом, расчет может выполняться одним из трех способов:
обыкновенный процент с приближенным числом дней, обозначаемый как 360/360 (применяется в Германии, Дании, Швеции);
обыкновенный процент с точным числом дней, обозначаемый как 365/360 (Бельгия, Франция);
точный процент с точным числом дней, обозначаемый как 365/365 (Великобритания, США).
В российской практике можно встретиться с различными схемами начисления процентов. Эффект же от выбора того или иного способа зависит от значительности суммы, фигурирующей в процессе финансовой операции.
Пример
Представлена ссуда в размере 7 тыс. р. 10 февраля с погашением 10 июня под 20 % годовых (год невисокосный). Рассчитать различными способами сумму к погашению (F).
Решение. Величина уплачиваемых за пользование ссудой процентов зависит от числа дней, которое берется в расчет. Точное число дней определяется по табл.1 в приложении 1: 161 - 41 = 120 дней.
Приближенное число дней ссуды равно: 18 дней февраля (59-41) + 90 дней (по 30 дней трех месяцев: март, апрель, май) + 10 дней июня =118 дней. Возможные варианты возврата долга:
1. В
расчет принимаются точные проценты и
точное число дней ссуды:
= 7,460 тыс. р.
2. В расчет принимаются обыкновенные проценты и точное число дней:
F
= 7 (1 +
0,2) = 7,467 тыс. р.
3. В расчет принимаются обыкновенные проценты и приближенное число дней:
тыс.р.