Примеры решения задач

Пример. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания нормального распределенного признака генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение σ=5, выборочная средняя и объем выборки

Решение. Доверительный интервал равен: Здесь все величины известны, кроме . Определим из отношения (см. таблицу приложения), =1,96. Тогда получаем Искомый доверительный интервал:

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

1) [5], №№ 501-504, 508-511.

2) На двухчашечных стрелочных весах можно определить вес предметов A и B двумя способами:- поочередно взвесить каждый предмет и получить показания весов ; определить показания весов, положив оба предмета на одну чашку: , и на разные чашки: , а затем рассчитать вес предметов A и B как полусумму и полуразность этих показаний.

Определить, какой способ определения веса дает меньшую погрешность результата. Ответ получить в общем виде.

Форма отчетности: устный опрос, проверка решения задач преподавателем.

Занятие №6 система двух случайных величин

Литература: [4], с 155-167.

Распределение двух случайных величин и , или

двумерной случайной величины ( , не исчерпывается

распределением каждой из них , так как при этом не

учитывается зависимость, которая может существовать между ними.

Функции распределения двумерной случайной величины( , ) определяется как вероятность совместного выполнения неравенств < x и <y: .

Если представима в виде

, где некоторая

неотрицательная функция, то двумерную случайную величину

( , ) называет непрерывной, функцию плотностью

распределения двумерной случайной величины ( , ).

Плотность распределения случайной

величины выражается через совместную плотность p(x, y)

следующим образом:

Аналогично для плотности распределения случайной

величины имеем В отличие от совместной плотности распределения p(x, y) одномерные плотности и называют маргинальными.

Случайные величины и называются независимыми,

если их совместная функция распределения при любых

значениях аргументов x, y равна произведению маргинальных

функций распределения случайной величины и

случайной величины :

Пусть ( , непрерывная двумерная случайная

величина с плотностью распределения . Тогда для

независимости и необходимо и достаточно, чтобы совместная плотность распадалась в произведение маргинальных плотностей и :

Коэффициент корреляции

Величина называется ковариацией

случайных величин cov ( , ). Если ( , непрерывная

двумерная случайная величина с плотностью распределения

, то

cov ( , )=

Величина r=cov( , )/ называется коэффициент

корреляции случайных величин .

Свойства коэффициента корреляции

1⁰. Модуль коэффициента корреляции не превосходит единицы,

2⁰. Если независимые случайные величины, то r=0.

Обратное неверно: из условия r=0 (некоррелированность

случайных величин ) не следует независимость .

3⁰. Если связаны линейной зависимостью, то

Свойства математического ожидания и дисперсии

1⁰. Математическое ожидание постоянной равно этой

постоянной, т.е.

2⁰. Математическое ожидание суммы случайных величин

равно сумме их математических ожиданий, т. е.

(предполагается, что и существуют).

3⁰. Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т. е.

(предполагается, что и существуют).

4⁰. Дисперсия постоянной равна нулю, т. е. ,

5⁰. Дисперсия суммы случайных величин равно сумме их дисперсий, т. е. (предполагается, что и существуют).