ФГ/БОУ ВПО «Воронежский государственный

технический университет »

СПРАВОЧНИК МАГНИТНОГО ДИСКА

(Кафедра высшей математики

и физико-математического моделирования)

Элементы теории вероятностей и математической статистики

методические указания

по организации самостоятельной работы

по курсу «Математика» для студентов специальностей 220400 «Управление и информатика в технических системах», 140400 «Электропривод и автоматика промышленных установок

и технологических комплексов», «Электромеханика», 110800 «Электрификация и автоматизация сельского

хозяйства» очной формы обучения

Составители: А.А. Катрахова, Е.М. Васильев,

В.С. Купцов, Е.В. Купцова

Вер-статист.doc 4,27 Mb байт 14.09.2013 уч.-изд. л. 2,7.

ФГ/БОУ ВПО «Воронежский государственный

технический университет »

Кафедра высшей математики

И физико-математического моделирования

Элементы теории вероятностей

И математической статистики

Методические указания

по организации самостоятельной работы

по курсу «Математика» для студентов специальностей 220400 «Управление и информатика в технических системах», 140400 «Электропривод и автоматика промышленных установок

и технологических комплексов», «Электромеханика», 110800 «Электрификация и автоматизация сельского

хозяйства» очной формы обучения

Воронеж 2013

Составители: канд. физ.-мат. наук А.А. Катрахова, канд. физ.-мат. наук Е.М. Васильев, канд. физ.-мат. наук В.С. Купцов, аспирант Е.В. Купцова

УДК 517

Элементы теории вероятностей и математической статистики: методические указания по организации самостоятельной работы по курсу «Математика» для студентов специальностей 220400 « Управление и информатика в технических системах», 140400 «Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов», «Электромеханика», 110800 «Электрификация и автоматизация сельского хозяйства» очной формы обучения / ФГ/ БОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; cост. А.А. Катрахова, Е.М. Васильев, В.С. Купцов,

Е.В. Купцова. Воронеж, 2013. 44 с.

Методические указания содержат теоретический материал, примеры решения задач, а также задания для самостоятельной работы.

Методические указания подготовлены на магнитном

носителе в текстовом редакторе MS Word и содержатся в файле «Вер-статист.doc»

Табл. 10. Ил. 2. Библиогр.: 15 назв.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. А.П. Дубровская

Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат.

наук, проф. И.Л. Батаронов

Издается по решению редакционно-издательского совета

Воронежского государственного технического университета

© ФГ/ БОУ ВПО «Воронежский государственный

технический университет», 2013

Введение

Настоящие методические указания содержат теоретический материал, разбор и подробное решение некоторых задач типового расчета по теме “Элементы теории вероятностей и математической статистики ”. Содержание методических указаний соответствует программе курса математики для студентов инженерно-технических специальностей вузов, рассчитанной на 600 часов и утвержденной Министерством образования Российской Федерации в соответствии с новыми образовательными стандартами.

В данной работе изложены основные понятия из теории вероятностей и математической статистики. Методическое указание содержит большое количество задач для проведения практических и индивидуальных занятий. К задачам даны ответы, большое количество пояснений дает возможность многие примеры выносить на самостоятельную работу.

ЗАНЯТИЕ №1

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В КЛАССИЧЕСКОЙ СХЕМЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФОРМУЛ

КОМБИНАТОРИКИ.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Литература: [4], с. 17-20; 22-24, 26-28.

Классическое определение вероятности

Вероятностью события А называется отношение

числа равновозможных случаев m, благоприятствующих событию А, к общему числу n равновозможных случаев.

Комбинаторные формулы

Допустим, что требуется выполнить одно за другим k действий. Если первое действие можно выполнить способами, второе - способами, третье - способами и так до k-го действия, которое можно выполнить способами, в этом применяется основной принцип комбинаторики (правило умножения).

Пусть Ω – множество из n элементов. Произвольное k-элементное подмножество множества из n элементов называется сочетанием из n элементов по k. Порядок элементов в

подмножестве не существенен. Число k-элементных подмножеств множества из n элементов обозначают .

Например, если , тогда - все

возможные сочетания из 3 по 1 (следовательно, ); - все возможные сочетания из 3 по 2 (таким образом, ).

Число сочетаний из n элементов по k находится с помощью формулы

Множество называется упорядоченным, если каждому

элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое число (номер элемента) от 1 до n (n-число элементов множества) так, что различным элементам соответствуют различные числа. Различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов (т.е. могут быть получены из того же самого множества) называются перестановками этого множества. Например, перестановки множества имеют вид

Число перестановок множества, содержащего n элементов, определяется по формуле

Рассмотрим теперь упорядоченные подмножества данного множества Ω. Само множество Ω считаем неупорядоченным, поэтому каждое его подмножество может быть упорядочено каким-либо возможным способом. Число всех k-элементных подмножеств множества Ω равно . Каждое такое подмножество можно упорядочить k! способами. Таким образом получим все упорядоченные k-элементные подмножества множества Ω. Число упорядоченных k-элементов подмножеств множества, состоящего из n элементов, обозначается через ,

Упорядоченные k-элементные подмножества множества

из n элементов называются размещениями из n элементов по k. Различные размещения из n по k отличаются либо элементами, либо их порядком.

Пусть - целые неотрицательные числа,

причем Представим множество A из n элементов в виде суммы m множеств содержащих соответственно элементов. Обозначим число различных способов такого разбиения на группы через . Оно определяется по формуле

.

Приведем еще одну комбинаторную схему, часто

встречающуюся при решении задач: n-элементное множество

A является суммой множеств число элементов

которых равно соответственно B-m-элементное подмножество множества A, содержащее элементов из Число способов, которыми можно

выбрать такое множество B из A (множества неупорядоченные), в силу основного принципа комбинаторики равно

.