Задача к4

Геометрическая фигура вращается вокруг оси, перпендикулярной ее плоскости (рис. 0, 1, 4, 5, 6 табл. 4.1) или вокруг оси, лежащей в ее плоскости (рис. 2, 3, 7, 8, 9 табл. 4.1). По каналу, расположенному на фигуре, движется точка М по известному закону . Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки при с. Функция , размер и закон вра-щения фигуры даны в табл. 4.2. На рис. 0 - 3 табл. 4.1 радиус см.

Указания. Задача К4 относится к разделу «Сложное движение точки» [1, §§ 64-67], [2, §§ 111-116].

Примеры решения задачи

Пример К4.1

Прямоугольник ABCD вращается вокруг оси, проходящей через вершину A (рис. 4.1). Ось перпендикулярна плоскости прямоугольника. По круговому каналу (центр в точке С), расположенному на прямоугольнике, движется точка M по закону см. Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М при с.

Рис. 4.1

Решение

Д вижение точки М представим в виде суммы относительного движения по круговому каналу и переносного вращения вместе с прямоугольником.

1. Положение точки

За время точка проходит путь по дуге окружности

(см).

Центральный угол, соответствующий этой дуге, равен

.

Изобразим точку в этом положении (рис. 4.2).

2. Определение скорости

Относительная скорость точки М направлена по касательной к окружности (под углом к вертикали) и при с равна

Рис. 4.2 (см/c).

Переносной скоростью точки является скорость точки прямоугольника, совпадающей в данный момент с М¹:

.

Найдем радиус траектории переносного движения и угловую скорость фигуры при с:

(см).

(рад/с).

Отсюда

(см/c).

Модуль абсолютной скорости найдем, проецируя это равенство на неподвижные оси координат x, y (можно воспользоваться также теоремой косинусов):

,

.

Вычислим тригонометрические функции угла :

Получим численные значения проекций абсолютной скорости

(см/c), (см/c).

Модуль абсолютной скорости

(см/c).

3. Определение ускорения

А бсолютное ускорение точки опре-деляется по теореме сложения ускорений Кориолиса²:

_(4.1)

Относительное ускорение точки, движущейся относительно прямоугольни-ка по окружности, имеет нормальную и касательную компоненты

(см/c²),

(см/c²).

Ускорение направим по радиусу окружности к точке С, – по касательной, в сторону увеличение дуги КМ, т.к. (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Траектория переносного движения точки – окружность радиуса с центром А. Прямоугольник вращается с угловой скоростью и угловым ускорением

(рад/с²).

Вычислим соответствующие компоненты переносного ускорения:

(см/c²),

(см/c²).

Вектор направлен против хода часовой стрелки перпендикулярно радиусу . Вектор – к центру А.

Величина ускорения Кориолиса³ определяется по формуле

.

Вектор перпендикулярен плоскости чертежа, следовательно, угол между и равен 90⁰. Имеем

(см/c²).

Направление вектора ускорения Кориолиса получим по правилу Жуковского⁴ поворотом вектора относительно скорости по направлению переносного вращения, т.е. против хода часовой стрелки.

Найдем абсолютное ускорение. Спроецируем (4.1) на неподвижные оси координат:

(см/c²),

(см/c²).

Окончательно найдем величину абсолютного ускорения точки М:

(см/c²).

Пример К4.2

Прямоугольник ABCD вращается вокруг оси, проходящей по стороне DC (рис. 4.4). По круговому каналу (центр в точке O), расположенному на прямоугольнике, движется точка M по закону см. Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М при с.

Рис. 4.4

Решение

1. Положение точки

Найдем центральный угол, соответствующий дуге при :

.

Изобразим точку в этом положении (рис. 4.5).

Рис. 4.5

2. Определение скорости

Относительная скорость точки М направлена по касательной к окружности (под углом к оси ) и при с равна

(см/c).

Траекторией переносного движения точки является окружность с центром N. Эта окружность лежит в плоскости , перпендикулярной к оси вращения DC (ось z). Радиус окружности

(см).

Угловая скорость вращения прямоугольника ABCD

(рад/с).

Отсюда переносная скорость точки (см/c). Вектор лежит в плоскости zy, а направлен по оси x, следовательно, они перпендикулярны. Модуль абсолютной скорости

(см/c).

3. Определение ускорения

Абсолютное ускорение точки определяется по формуле

.

Найдем относительное ускорение точки, движущейся по окружности радиуса R. Нормальная составляющая

(см/c²).

Касательная составляющая

(см/c²).

Оба вектора лежат в плоскости zy (рис.4.6).

Вычислим компоненты переносного ускорения. Прямоугольник вращается с угловой скоростью рад/с и угловым ускорением

(рад/с²).

Отсюда

 (см/c²),

(см/c²).

Вектор направлен по оси x, вектор – к оси вращения вдоль y. Величина ускорения Кориолиса определяется по формуле

.

Рис. 4.6

В ектор всегда направлен по оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно против часовой стрелки. В нашем случае – вверх. Угол между и равен 150⁰. Имеем  (см/c²).

Для того, чтобы найти направление вектора ускорения Кориолиса, воспользуемся правилом Жуковского (рис.4.7). Спроектируем вектор относительной скорости на плоскость, перпендикулярную оси вращения, т.е. на плоскость xy. Повернув полученную проекцию по направлению переносного вращения на 90⁰, найдем направление вектора ускорения Кориолиса. Вектор лежит на оси x и направлен в сторону отрицательных значений.

Рис. 4.7

Вычислим абсолютное ускорение. Проекции векторной суммы всех найденных ускорений

(см/c²),

(см/c²),

(см/c²),

Окончательно абсолютное ускорение точки М

(см/c²).

Таблица 4.1

Варианты рисунков к задаче К4 (номер рисунка – предпоследняя цифра шифра)

Рис. 0	Рис. 1
Рис. 2	Рис. 3
Рис. 4	Рис. 5
РРис. 6	Рис. 7
Рис. 8	Рис. 9

Таблица 4.2

Исходные данные к решению задачи К4

Последняя цифра шифра	рад	h, см	, см
			Рис. 0-3	Рис. 4-9
0		25
1		26
2		27
3		28

Окончание табл. 4.2

Последняя цифра шифра	рад	h, см	, см
			Рис. 0-3	Рис. 4-9
4		29
5		30
6		31
7		32
8		33
9		20