Упражнения
1. Проиллюстрировать на содержательном примере некоммутативность операции разности множеств: А \ В В \ А.
2. Для множеств А, В, С U из примера 1 определить содержательный смысл следующих множеств:
а)
;
б)
;
б)
;
г)
;
д)
;
е)
.
3. Осуществить операции над множествами А, В U, если: А = {a,b,d}; B = {b,d,e,h}; U = {а,b,с,d,e,f,g,h}.
4. Осуществить операции над множествами А = {2, 4, 6, 8}, В = {3, 6, 9}, если U = {1, 2, 3, ..., 10}.
5. Пусть А = {1, 2}, В = {2, 3}, С = {1, 3}. Найти:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
6. Указать, какие из следующих утверждений справедливы: а) 0 ; б) = {0}; в) |{}| = 0; г) | | = 0?
7. Пусть U = {а,b,с,d}, X = {а,с}, Y = {a,b,d}, Z = {b,с}.
Найти множества:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
.
8. Пусть U = {1,2,3,4,5,6}; A = {1,2,3}; B = {1,3,5,6}; С = {4, 5, 6}. Найти множества:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
9. Даны два произвольных множества А и В такие, что А В = . Что представляют собой А \ В и В \ А?
10.
Даны два произвольных множества С
и D
такие, что
= .
Что можно сказать о С
D,
С
D?
11. Дано произвольное множество X. Найти множества:
а)
;
б)
;
в)
.
1.3. Диаграммы Венна
Диаграммы Венна - геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его - кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.
Приведенные на рис. 2 - 5 иллюстрации операций объединения, пересечения, разности и дополнения двух множеств являются диаграммами Венна.
Пример 1. Представить множество диаграммой Венна.
Начнем с общей диаграммы, показанной на рис. 6,а.
Заштрихуем
В
диагональными
линиями в одном направлении, а
-
в другом (рис. 6,б). Площадь с двойной
штриховкой представляет собой их
пересечение, т.е. множество
.
Выделим
это множество жирной линией. На новой
копии диаграммы заштрихуем эту область
линиями
одного направления, a
A
- другого.
Вся заштрихованная на рис. 6,с область
представляет объединение множеств А
и
,
т.е. множество
.
Обведем искомую область также жирной
линией.
Пример 2. Проиллюстрировать на конкретных множествах и с помощью диаграммы Венна справедливость соотношения
А (В С) = (А В) (A C)
(свойство дистрибутивности слева операции пересечения относительно объединения ).
Пусть U = {а,b,с,d,e}. А = {а,b}, В = {а,с,d}, С = {b,с,d,e}. Тогда:
левая часть равенства
А (В С)={а,b} ({а,с,d} {b,с,d,e})={а,b} {а,b,с,d,e}= {а,b};
правая часть равенства
а) б) с)
Рис 6
(A B) (A C)=({а,b} {а, с,d}) ({а,b} {b,с,d,e}) = {a} {b} = {a,b}.
Таким образом, левая и правая части соотношения совпадают, т.е. равенство подтверждено.
Построим теперь диаграммы Венна. Левая часть равенства представлена на рис. 7,а, правая - на рис. 7,б. Из диаграмм очевидно равенство левой и правой частей иллюстрируемого соотношения.
а)
б)
Рис 7