Упражнения
1. Пусть Х- множество {1, 2}, а Y - множество {х: х = = y+z; y,z X]. Определить в явном виде (списком) множество Y. Каковы множества Y’ = {у: у = x+z; х, у Х} и Y’’= {у: х = y+z; x,z X}?
2. Задать различными способами множество всех чисел, являющихся степенями двойки: 2, 4, 8, 16, ..., не превышающих 300?
3. Задать различными способами множество натуральных чисел, кратных пяти: 5, 10, 15, 20, ...
4. Задать в явном виде (списком) множество (U) всех подмножеств множества U, если U = (1, 2, 5, 7}. Какова мощность множества (U) ?
1.2. Операции над множествами
Объединением
множеств
А
и
В
(обозначается
А
B)
называется множество, состоящее из всех
тех элементов, которые принадлежат хотя
бы одному из множеств А,
В (рис
2):
А B = {х:х А или х B}.
Пересечением
множеств
А
и
В (обозначается
А
В)
называется
множество, состоящее из всех тех и
только тех элементов, которые
принадлежат и А,
и
В
(рис
3):
Рис 2 Рис 3
А B = {х:х А или х B}.
Объединение и пересечение произвольной совокупности множеств определяются аналогично. Символическая запись, например, для объединения: А В С D;
Разностью множеств А и В (обозначается А \ В) называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис 4):
Рис 4 Рис 5
А \ В={х:х А и х В}.
Разность - операция строго двухместная и некоммутативная: в общем случае А \ В В \ А.
Пусть U - универсальное множество такое, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами.
Дополнением
(до
U)
множества
А
(обозначается
)
называется множество всех элементов,
не принадлежащих A
(но принадлежащих U)
(рис.
5):
=U \ A.
Операции
объединения, пересечения, дополнения
{
}
часто называют булевыми
операциями над множествами,
Пример 1. Пусть универсальное множество U - множество всех сотрудников некоторой фирмы; А - множество всех сотрудников данной организации старше 35 лет; В - множество сотрудников, имеющих стаж работы более 10 лет; С - множество менеджеров фирмы. Каков содержательный смысл (характеристическое свойство) каждого из следующих множеств:
а)
;
б)
;
в)
;
г) B
\ C;
д) С
\ В?
а) - множество сотрудников организации, стаж работы которых не превышает 10 лет.
б) - множество менеджеров фирмы не старше 35 лет, имеющих стаж работы более 10 лет.
в) - множество всех сотрудников фирмы старше 35 лет, а также сотрудников, не являющихся менеджерами, стаж работы которых более 10 лет.
г) В \ С - множество сотрудников организации со стажем работы более 10 лет, не работающих менеджерами.
д) С \ В - множество менеджеров со стажем работы не
более 10 лет.
Пример
2.
Задать множества
,
,
если:
М - множество всех натуральных чисел, не превосходящих 100;
N - множество натуральных чисел.
-множество всех натуральных чисел, больших 100. Запись без контекста (т.е. без указания универсального
множества U) не ясна:
• то ли это множество всех отрицательных целых чисел;
• то ли это множество положительных дробных чисел;
• то ли это пустое множество натуральных чисел.
Пример 3. Осуществить операции над множествами А = {a,b,c,d} и B = {с,d e,f,g,h}.
A B={a,b,c,d,e,f,g,h}; A B={c,d}.
Универсальное множество U не определено, поэтому, строго говоря, операции дополнения над множествами А и В не могут быть выполнены. Дополним условие. Пусть U={a,b,с,d,e,f,g,h}, тогда =U \ A = {e,f,g,h}, ={а,b}.
A \ B={a,b}; B \ A = {e,f,g,h}.
Пример 4. Пусть U={1,2, 3,4}, A ={1,3, 4}, В ={2,3},
С ={M} . Найти:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
a) = (U \A) (U \В) = ({1,2,3,4} \ {1,3,4}) ({1,2,3,4}\{2,3}) = {2} {1,4} = {1,2,4}.
б) = U \ (А В) = {1, 2, 3, 4} \ ({1, 3, 4} {2, 3}) = {1,2,3,4} \ {3} = {1,2,4}.
в) =A (U \ B )= {1,3,4} ({1,2,3,4} \ {2,3}) = {1,3,4} {1,4} = {1,4}.
г) = ({2,3} \ {1,3,4}) ({1,2,3,4) \ {1,4)) = {2} {2,3} = {2,3}.