2.1.4. Чтение контрольных карт

Что важнее всего в процессе управления, так это точ­ное понимание положения объекта управления с помощью чтения контрольной карты и быстрое осуществление под­ходящих действий, как только в объекте обнаружится что-нибудь необычное. Контролируемое состояние объек­та - это такое состояние, когда процесс стабилен, а его среднее и разброс не меняются. Находится ли процесс в данном состоянии или нет, определяется по контрольной карте на основании следующих критериев [3]:

1) Выход за контрольные пределы. Точки, которые лежат вне контрольных пределов.

2) Серия - это проявление такого состояния, когда точ­ки неизменно оказываются по одну сторону от средней линии; число таких точек называется длиной серии (рис. 8).

Серия длиной в 7 точек рассматривается как ненор­мальная.

Даже если длина серии оказывается менее 6, в ряде случаев ситуацию следует рассматривать как ненормаль­ную, например, когда:

а) не менее 10 из 11 точек оказываются по одну сторону от центральной линии;

б) не менее 12 из 14 точек оказываются по одну сторону от центральной линии;

в) не менее 16 из 20 точек оказываются по одну сторону от центральной линии.

3) Тренд (дрейф). Если точки образуют непрерывно по­вышающуюся или понижающуюся кривую, говорят, что имеет место тренд (рис. 9).

4) Приближение к контрольным пределам. Рассматриваются точки, которые приближаются к 3-сигмовым контрольным пределам, причем если 2 или 3 точки оказываются за 2-сигмовыми линиями, то такой случай надо рассматривать как ненормальный (рис. 10).

5) Приближение к центральной линии. Когда большинство точек концентрируется внутри центральных полуторасигмовых линий, делящих пополам расстояние между центральной линией и каждой из контрольных линий, это обусловлено неподходящим способом разбиения на подгруппы. Приближение к центральной линии вовсе не означает, что достигнуто контролируемое состояние, напротив, это значит, что в подгруппах смешиваются данные из различных распределений, что делает размах контрольных пределов слишком широким. В таком случае надо изменить способ разбиения на подгруппы (рис. 11).

6) Периодичность. Когда кривая повторяет структуру «то подъем, то спад» с примерно одинаковыми интервалами времени, это тоже ненормально (рис. 12).

2.1.5. Границы регулирования для контрольных карт

Сравнительно простым и наиболее эффективным статистичес­ким инструментом, с помощью которого при управлении качеством осуществляются непосредственно регулирование технологического процесса, приемочный и входной контроль качества продукции, является контрольная карта [2].

При построении контрольных карт первостепенное значение имеет правильный выбор нижней и верхней границ допустимого изменения контролируемого параметра качества (границ регулиро­вания для контрольных карт).

При гауссовском законе распределения в пределах трехсигмовых границ лежит 99,73% всех значений контролируемого параметра качества. Отсюда следует, что почти все средние, вычисленные по результатам выборок из генеральной совокупности с математичес­ким ожиданием М(х) и стандартным отклонением σ, приходятся на участок с границами М(х) ± 3σ/ . Эти две границы называют границами регулирования контрольной карты для средних (х-карты): М(х) + 3σ/ — верхняя граница (уровень) регулирования; М(х) — 3σ/ — нижняя граница (уровень).

Следует отметить, что существует три варианта оценки качества изготовления изделия: по измеряемым соответствующими прибора­ми параметрам, характеризующим качество изделий (размеры, мас­су, электрические характеристики и т. д.); по доле бракованных изделий в процентах; по числу дефектов различных контролиру­емых параметров на единицу продукции. Соответственно этому различают контрольные карты и выборочные планы по количест­венным признакам или по числу дефектов на единицу продукции.

На контрольную карту наносятся обычно три линии: средняя и две крайние, представляющие собой верхнюю и нижнюю границы регулирования. По оси ординат откладываются значения контроли­руемого параметра, а по оси абсцисс — номера выборок.

Вычисление границ регулирования для -карты. Если известны математическое ожидание и стандартное отклонение контролиру­емой генеральной совокупности (эти параметры обычно задаются в документации на технологический процесс), то верхняя и нижняя границы регулирования для -карты или доверительной вероят­ности 0,9973 откладываются от математического ожидания (сред­ней линии) на расстоянии 3σ/ . Итак,

— верхняя граница регулирования, а

— нижняя граница регулирования.

Значения коэффициента А = 3/ можно найти в табл. 7 Прило­жения [2].

Если математическое ожидание генеральной совокупности неизвестно, то для построения средней линии находят оценку, математического ожидания — общую среднюю арифметическую , вычисляемую по k значениям выборочных средних :

(7)

В этом случае из текущего процесса отбирают как можно больше выборок (к≈20...30) объемом п. При этом замену М(х) на х можно сделать методами, рассмотренными в § 4.3 ??2??

Если неизвестно стандартное отклонение σ генеральной совокуп­ности, то его можно оценить с помощью среднего выборочного значения по формуле (4.17, [2]), т. е.

где

По известным и С₂ легко вычисляются границы регулирования

для -карты:

Коэффициенты А₁ и С₂ зависят от объема выборок (см. табл. 7 Приложения [2]).

Как отмечается в § 4.4 [2], неизвестное стандартное отклонение σ генеральной совокупности можно оценить с помощью средней величины размаха R.. С учетом (4.22 [2]) имеем

где А₂ = .

Тогда границы регулирования для -карты вычисляются следующим образом:

Значение А₂ находят по табл. 7 Приложения [2] в зависимости от объема выборок п. Пользоваться табл. 7 Приложения для определе­ния значений коэффициентов А₁ и А₂ можно только в случае установлений трехсигмовых границ регулирования -карты. Если на контрольные карты наносят границы регулирования, которые бази­руются на доверительной вероятности 0,9973, то в коэффициентах А₁ и А₂ число 3 (соответствующее трехсигмовым границам регулирования) заменяют соответственно другим числом. Как следует из табл. 1 Приложения [2], для функции Ф(α) это число при доверительной вероятности, например 0,9544, равно 2, что соответствует двухсигмовым границам регули­рования -карты.

Чтобы получить более полное представление о ходе производст­венного процесса, наряду с -картой ведут либо s-карту, с помощью которой непрерывно контролируют стандартное отклонение, либо R-карту для контроля размахов выборок. При этом создание конт­рольных карт обычно начинают с изготовления карт для стандарт­ных отклонений или размахов, а не с контрольных карт для сред­них, ибо к моменту начала контроля производства имеется мало исходных данных (или вообще не имеется) для оценки с и, следова­тельно, для создания х-карты.

Вычисление границ регулирования для s- и R-карт. Эти карты строятся так же, как и -карта. Вначале наносят на карту среднюю линию, соответствующую среднему значению или R, а затем проводят параллельно средней линии верхнюю и нижнюю границы регулирования с требуемой доверительной вероятностью.

Если генеральная совокупность, из которой сделаны выборки, распределена по закону Гаусса, то при достаточно большом числе п стандартное отклонение σ_c распределения s связано со стандарт­ным отклонением σ генеральной совокупности соотношением , или с учетом (4.14 [2])

Среднюю линию и границы регулирования s-карты вычисляют следующим образом.

Если значение σ генеральной совокупности известно, то среднее значение для s -карты равно C_2σ. В этом случае границы регулиро­вания

или

(8)

где

Если значение σ генеральной совокупности неизвестно, то снача­ла нужно вычислить с помощью коэффициента С₂ и среднего значе­ния оценку σ. Тогда границы регулирования

или

(9)

где

Значения коэффициентов B₁ ,В₂ ,В₃ , В₄ приведены в табл. 7 При­ложения [2], по которой они определяются в зависимости от объема выборок только при трехсигмовых границах регулирования s-карты.

При n, меньшем 25, коэффициенты B₁ ,В₂ ,В₃ , В₄ по следующим формулам:

(10)

При этом учитывается асимметричность распределения, увеличива­ющаяся по мере уменьшения объема выборки.

Распределение размахов R выборок одинакового объема асим­метрично, так как размах является положительной величиной и те­оретически может принимать какое угодно значение. При малых объемах выборок s и R связаны тесной корреляционной зависимо­стью. Вследствие этого стандартное отклонение σ_r распределения размахов можно вычислить из стандартного отклонения а генераль­ной совокупности с помощью коэффициента, зависящего от п:

(11)

Значения коэффициента b₂ приведены в табл. 7 Приложения [2].

Если известно значение σ генеральной совокупности, то среднее значение размахов, представляющее собой среднюю линию R-карты,

(12)

а границы регулирования

или

(13)

где

Если значение σ генеральной совокупности неизвестно, то его оценку вычисляют по R с помощью (4.22) или (6.5) [2]. В этом случае границы регулирования

или

(14)

где

Значения коэффициентов D₁ ,D₂ ,D₃ , D₄ приведены в табл. 7 Приложения [2]. Они зависят, как и b₂ и d₂, от объема выборки п и действительны, если генеральная совокупность имеет гауссовское распределение или хотя бы приближается к нему.

Так как при малых объемах выборок распределения стандарт­ных отклонений s и размахов R являются асимметричными, то при уменьшении п до 5...6 изделий получаются отрицательные значения для нижних границ регулирования. Поэтому при малых объемах выборок коэффициенты B₁ ,В₃, D₁ ,D₃ приравниваются нулю, а за нижние границы регулирования s- и R-карт принимаются их средние линии.

Несмотря на асимметричность распределений s и R, при неболь­ших объемах выборок в большинстве случаев на практике пользу­ются формулами, выведенными для гауссовского распределения, поскольку точные формулы сложны для расчетов. Хотя в таких случаях и неизвестна вероятность того, что контрольная точка попадет за границы регулирования, но очевидно, что для статисти­чески управляемого процесса эта вероятность очень мала [2].

Отметим, что между поведением средних и стандартных от­клонений или размахов выборок, сделанных из гауссовской гене­ральной совокупности, отсутствует взаимосвязь систематического характера. Следовательно, контрольные карты для средних и стан­дартных отклонений или размахов независимы. В то же время s-и R-карты зависимы вследствие корреляционной связи между s и R, которая является тесной при малых объемах выборок [2].