9.2. Понятие о методе размерностей. Пи-теорема
Если бы не было уравнений движения, то указанные числа подобия так же, как и числа подобия любых физических явлений можно получить из теории размерности.
Размерность данной физической величины определяется соотношением между ней и теми физическими величинами, которые приняты за основные. В каждой системе единиц имеются свои основные единицы. В международной системе единиц основными являются: длина - метр, масса - килограмм, время - секунда, сила электрического тока - ампер, термодинамическая температура - градус Кельвина и сила света - свеча.
Размерность остальных физических величин, так называемых производных единиц, принимается на основании физических законов, устанавливающих связь между ними. Эта связь может быть представлена в виде формулы, называемой формулой размерности.
Теория размерностей основана на двух положениях:
1) отношение двух численных значений какой-нибудь производной величины не зависит от выбора масштабов для основных единиц измерения. Например, отношение двух площадей не зависит от того, в каких единицах будут измеряться площади;
2) всякое физическое соотношение между размерными величинами можно сформулировать как соотношение между безразмерными величинами. Это положение в теории размерности называют П-теоремой.
Не приводя доказательств, укажем, что из первого положения следует, что формулы размерности физических величин должны иметь вид степенных одночленов, т.е.
,
(9.10)
где
и
- размерность основных единиц.
Математическое
выражение П-теоремы можно представить
в таком виде: если размерная величина
а
является функцией независимых между
собой размерных величин
,
т.е.
,
(9.11)
где
- число основных размерных величин, то
безразмерных комбинаций Пi
указанных размерных величин могут быть
представлены в виде
;
;
................................
.
(9.12)
Для
примера установим зависимость коэффициента
сопротивления крыла
.
Допустим, что
зависит от следующих размерных величин:
плотности
,
вязкости
,
скорости полета
V
и линейного размера крыла l.
Тогда
.
(9.13)
Пользуясь формулой размерности, можно найти безразмерную комбинацию указанных физических величин, представив их размерность степенным одночленом
.
(9.14)
Для нахождения показателей a, d, с и п подставим в эту формулу значения размерностей физических величин в некоторой системе единиц. Выберем международную систему СИ. Тогда будем иметь
.
(9.15)
Подставив эти величины в степенной одночлен, получим
,
(9.16)
откуда относительно основных единиц измерения будем иметь три следующих уравнения
для кг: a + d = 0;
для м: - 3a - d + c + n = 0;
для сек:- в - с = 0. (9.17)
Решим эту систему, считая один из показателей степени, например п, известным. Получим а = с = п; d = - п. Таким образом, найдем безразмерную величину, от которой зависит
.
(9.18)
Следовательно, зависит от числа Re. Показатель степени числа Re можно найти из эксперимента или каких- либо дополнительных соображений о механизме сопротивления крыла.
Аналогичным образом с помощью теории размерности можно получить и другие числа подобия для гидродинамических процессов.