- •Программа курса математики
- •Тема I. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- •Тема II. Дифференциальное исчисление
- •Основные понятия, формулы, правила Вычисление определителей
- •Системы линейных алгебраических уравнений
- •Векторная алгебра
- •Прямая на плоскости
- •Кривые второго порядка
- •Аналитическая геометрия в пространстве
- •Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка
- •Дифференциальное исчисление
- •Задания к типовому расчету №1 Системы линейных уравнений. Аналитическая геометрия
- •Математический анализ
- •Примеры решения задач из типового расчета
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка
Сфера: ;
Эллипсоид: (рис. 6) ;
Гиперболоид однополостный: (рис. 7);
Гиперболоид двуполостный: (рис. 8);
Параболоид эллиптический: (рис. 9);
Параболоид гиперболический (седло): (рис. 10);
Конус: (рис. 11);
Если в уравнении поверхности отсутствует одна из переменных (например, z), то поверхность является цилиндрической в направлении оси Oz: в сечении этой поверхности любой плоскостью z=const получается одна и та же кривая (направляющая цилиндрической поверхности). Если направляющей кривой в плоскости является эллипс , то поверхность называется эллиптическим цилиндром (рис. 12), а если гипербола , то гиперболическим цилиндром (рис. 13), и т.д. Уравнения направляющих могут быть написаны и в других координатных плоскостях.
Рис. 6 Рис. 7
Рис. 8 Рис. 9
Рис. 10 Рис. 11
Рис. 12 Рис. 13
Дифференциальное исчисление
Производная функции у=f(x) в точке х0 есть предел отношения при х0, где х= – приращение аргумента, а у= f(x)-f(x0) – приращение функции (рис. 14). Для производной функции у=f(x) в точке х используют обозначения , , .
С точки зрения механики, производная V(t)= функции перемещения S=S(t) есть мгновенная скорость материальной точки в момент времени t.
Геометрически производная определяет тангенс угла наклона касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой х0 к оси .
Функция, у которой существует производная, называется диффе-ренцируемой, а операция вычисления производной – дифференцированием.
Таблица производных основных элементарных функций и правил дифференцирования
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) (с=сonst); |
б) |
|
в) , если с=сonst: |
|
|
г) ; д) если задана сложная функция у=f(и), где и=g(x), то есть у=f(g(x)), где каждая из функций у=f(и), и=g(x) дифференцируема по своему аргументу, то (или ). |
Уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке (х0, f(x0)) имеет вид
y= f(x0)+ (x- х0),
а уравнение нормали ( )
у= f(x0)- (x- х0). (см. рис. 15).
Связь знака производной функции с возрастанием (убыванием) функции:
если на интервале (а,b) >0, то возрастает на этом интервале;
если на интервале (а,b) <0, то убывает на этом интервале;
если на интервале (а,b) =0, то =сonst на этом интервале.
Необходимое условие экстремума функции f(x) в точке х= : или не существует.
Достаточные условия экстремума функции f(x) в точке х= : если непрерывна в точке , дифференцируема в некоторой окрестности (кроме, может быть, точки ) и при переходе через точку производная меняет знак, то точка является точкой экстремума, причем:
а) если <0 слева от точки , >0 справа от точки , то - точка минимума;
b) если >0 слева от точки , <0 справа от точки , то -точка максимума.
Г рафик функции f(x) называется выпуклым вверх (выпуклым) в окрестности точки , если вблизи этой точки любая касательная к графику расположена выше самого графика (рис. 16), и выпуклым вниз (вогнутым), если вблизи этой точки любая касательная к графику расположена ниже самого графика (рис. 17). Точка графика функции, разделяющая участки выпуклости и вогнутости графика, называется точкой перегиба графика.
у=f(х)
у
х
0
х0
Рис.16 |
у=f(х)
х
у
0
х0
Рис.17 |
Связь знака с выпуклостью (вогнутостью) графика функции:
если на интервале (а,b) >0, то график вогнутый на этом интервале;
если на интервале (а,b) <0, то график выпуклый на этом интервале.
Необходимое условие перегиба функции f(x) в точке графика при х= : или не существует.
Достаточные условия перегиба функции f(x) в точке графика при х= : если непрерывна в точке , имеет вторую производную в некоторой окрестности (кроме, может быть, точки ) и при переходе через точку производная меняет знак, то точка является точкой перегиба.
Точки, в которых производные , не определены или обращаются в ноль, называются критическими точками.
Для построения графика функции проводят ее исследование по схеме:
нахождение области определения функции;
нахождение точек пересечения графика функции у=f(x) с осями координат;
выяснение четности, нечетности функции, периодичности;
определение точек возможного экстремума функции;
определение точек возможного перегиба функции;
составление таблицы, в которую включаются все критические точки функции; проверяются достаточные условия экстремума и перегиба функции; определяются участки монотонности функции и интервалы выпуклости (вогнутости) графика;
построение графика функции.