- •Программа курса математики
- •Тема I. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- •Тема II. Дифференциальное исчисление
- •Основные понятия, формулы, правила Вычисление определителей
- •Системы линейных алгебраических уравнений
- •Векторная алгебра
- •Прямая на плоскости
- •Кривые второго порядка
- •Аналитическая геометрия в пространстве
- •Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка
- •Дифференциальное исчисление
- •Задания к типовому расчету №1 Системы линейных уравнений. Аналитическая геометрия
- •Математический анализ
- •Примеры решения задач из типового расчета
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
Прямая на плоскости
Составить уравнение прямой на плоскости возможно:
если известны две точки и , лежащие на прямой :
;
если известна точка , лежащая на прямой, и прямая параллельна вектору : ( - направляющий вектор прямой);
если известна точка , лежащая на прямой, и прямая перпендикулярна нормальному вектору : или (общее уравнение прямой);
если известен угловой коэффициент прямой , где – угол образуемый прямой с осью Ox: (уравнение прямой с угловым коэффициентом).
Угол между прямыми ( ) и ( ) определяется формулой , где плюс соответствует острому углу, а минус тупому. Отсюда: – условие параллельности прямых ( ); условие перпендикулярности прямых при имеет вид .
Расстояние от точки до прямой , заданной уравнением , определяется по формуле .
Кривые второго порядка
Кривыми второго порядка являются окружность, эллипс, гипербола, парабола, общее уравнение которых имеет вид
.
Э ллипс – это множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек и (называемых фокусами), есть величина постоянная: .
К
Рис.2. Эллипс
Г ипербола – это множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек и (называемых фокусами), есть величина постоянная: .
К
Рис.3. Гипербола
Прямые называются асимптотами гиперболы, к ним приближаются ветви гиперболы при . Указанные асимптоты проходят по диагоналям прямоугольника (см. рис. 3).
П арабола – это множество точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки (фокуса) и от прямой (директрисы): , расстояние от фокуса до директрисы равно .
Е
Рис.4. Парабола
Е
Рис.5. Парабола
Аналитическая геометрия в пространстве
Составить уравнение плоскости возможно:
если известны три точки , и , которые принадлежат плоскости, но не лежат на одной прямой:
;
если известен нормальный вектор плоскости и координаты точки , принадлежащей плоскости: .
Раскрыв скобки в последнем уравнении, получим общее уравнение плоскости: .
Составить уравнения прямой возможно:
если известны две точки и , принадлежащие прямой: ;
если известны направляющий вектор прямой и координаты точки , принадлежащей прямой: .
Угол между плоскостями и
равен углу между их векторами нормали , : .
Угол между прямыми и равен углу между их направляющими векторами , : .
Угол между плоскостью и прямой определяется формулой .
Расстояние от точки до плоскости определяется по формуле: .