Министерство образования и науки Российской федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежский государственный архитектурно-строительный университет»
Кафедра высшей математики
Аналитическая геометрия.
Дифференциальное исчисление
Методические указания и задания по математике
для студентов архитектурного факультета
В
оронеж
2015
УДК 519.22
ББК 22.172.я7
Составители
А.М. Дементьева, Л.В. Акчурина, Н.А. Сапожкова
Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление: метод. указания и задания по математике. / Воронеж. гос. арх.-строит. ун-т, Сост. А.М. Дементьева, Л.В. Акчурина, Н.А. Сапожкова. ‑ Воронеж, 2015. – 31 с.
Предназначено для выработки студентами практических навыков решения задач по аналитической геометрии на плоскости и в пространстве, освоения техники дифференцирования и применения производной при исследовании функций. Приведены 30 вариантов контрольных заданий.
Предназначены для студентов архитектурного факультета.
Библиогр.: 6 назв.
УДК 519.22(07)
ББК 22.172.я7
Печатается по решению учебно-методического совета
Воронежского ГАСУ
Рецензент – С.Н. Дементьев, к. ф.-м. н., доцент кафедры высшей математики и теоретической механики Воронежского ГАУ
В В Е Д Е Н И Е
Настоящие методические указания предназначены для помощи студентам в освоении математических методов решения геометрических задач и задач, использующих дифференцирование функции.
В методических указаниях приведена программа курса математики, изучаемая студентами архитектурного факультета в первом (для специальности РРАН) и третьем (для специальности АРХ) семестрах.
Сообщаются основные определения, формулы и правила.
Методические указания содержат тридцать вариантов заданий к типовому расчету № 1. В варианте шесть задач по аналитической геометрии и три задания по математическому анализу.
Студент должен выполнить свой вариант заданий с краткими пояснениями решения задач (формулами, теоремами), четкими чертежами и рисунками.
В методических указаниях приводятся примеры решения задач по темам типового расчета.
Программа курса математики
Тема I. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
Определители второго и третьего порядков, их вычисление и свойства.
Системы линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера. Метод Гаусса.
Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Единичные орты.
Координаты векторов. Проекции векторов на координатные оси. Векторы, линейные действия над ними.
Деление отрезка в заданном отношении.
Скалярное произведение векторов, его свойства и вычисление в системе координат.
Вычисление длины вектора и угла между векторами, проекции вектора на направление.
Прямая на плоскости. Уравнение прямой проходящей через две заданные точки.
Уравнение прямой с известным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Уравнения прямой, параллельной (перпендикулярной) заданному вектору, проходящей через заданную точку. Общее уравнение прямой.
Взаимное расположение прямых на плоскости: угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Расстояние от точки до прямой.
Преобразование системы координат: параллельный перенос осей.
Общее уравнение кривой второго порядка.
Эллипс, его определение, вывод канонического уравнения. Уравнение окружности.
Гипербола, ее определение, вывод канонического уравнения. Асимптоты гиперболы.
Парабола, ее определение, вывод канонического уравнения.
Общее уравнение плоскости. Различные расположения плоскости в пространстве.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Уравнение плоскости с известным нормальным вектором, проходящей через заданную точку плоскости.
Взаимное расположение плоскостей: угол между плоскостями, параллельность и перпендикулярность плоскостей.
Уравнения прямой в пространстве.
Взаимное расположение прямых в пространстве: угол между прямыми, параллельность и перпендикулярность прямых.
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве: угол между ними, параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости.
Расстояние от точки до плоскости.
Общее уравнение поверхности второго порядка.
Эллипсоиды. Сфера.
Однополостный и двуполостный гиперболоиды.
Эллиптический и гиперболический параболоиды.
Конус. Цилиндрические поверхности.
Тема II. Дифференциальное исчисление
Производная функции, ее определение. Таблица производных.
Правила дифференцирования. Дифференцирование сложной функции.
Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к графику функции.
Физический смысл производной функции.
Возрастание и убывание функции.
Экстремум функции, понятие локального и глобального экстремумов.
Необходимое условие существования экстремума.
Достаточное условие существования экстремума.
Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
Необходимое условие и достаточное условие существования точки перегиба.
Критические точки. Общая схема исследования функции.