Пример решения ргр №4
Электрическая цепь, схема которой показана на рис. 4.3, питается от источника несинусоидального напряжения, которое задано в виде аналитического разложения в ряд Фурье:
u(t) = 5+ 7,07sin(ωt + 30°) + 2,82sin(3ωt) B,
где ω =1000 рад/с.
Параметры элементов цепи: R =50 Ом, L1 = 25 мГн, L2 = 25 мГн, С = 20 мкФ.
1.
Произвести расчет мгновенных значений
входного тока и выходного напряжения,
учитывая постоянную и две ненулевые
гармонические составляющие.
Источник питания представим в виде последовательного соединения трех источников напряжения различных гармонических составляющих:
u (0)= U = 5В, u(1)(t)=7,07sin (ωt + 30°), u(3)(t)= 2,82 sin (3ωt ).
Расчет несинусоидальных токов и напряжений выполняем методом наложения. Значения токов и напряжений для каждой из гармоник определяются отдельно, для чего рассматриваем схемы, содержащих только один из источников напряжения.
Рассчитаем нулевую (постоянную) гармонику токов и напряжений. Схема (рис. 4.4) содержит источник постоянного напряжения u(0)=5В с частотой ω = 0.
Т
ок
нулевой гармоники протекает по первой
и третьей ветви, так как емкостное
сопротивление 1/ωС = ∞ (обрыв), а индуктивное
ωL = 0 (короткозамкнутый участок):
Постоянная
составляющая выходного напряжения
равна нулю
.
Рассчитаем токи и напряжения первой гармоники. Расчет будем выполнять в комплексной форме, так как в рассматриваемой цепи все токи и напряжения изменяются по синусоидальному закону.
Схема
содержит источник напряжения первой
гармоники
=
7,07sin
(ωt
+30°) В.
Частота первой гармоники ω(1) = ω=1000 рад/сек.
Определим входное комплексное сопротивление цепи, для чего рассчитаем сопротивления реактивных элементов для первой гармоники:
ωL1
= j25
Ом;
ωL2
= j25
Ом;
Ом.
Входное комплексное сопротивление:
Комплексные значения напряжений и токов первой гармоники:
Действующие
значения токов и напряжений первой
гармоники:
Мгновенное значение выходного напряжения первой гармоники:
Рассчитаем токи и напряжения третьей гармоники. В схеме действует источник напряжения
=
2,82 sin(3ωt)
В.
Частота третьей гармоники ω(3)= 3ω=3000 рад/сек.
Величина реактивных сопротивлений зависит от частоты. Индуктивные сопротивления при увеличении частоты увеличиваются, а сопротивления емкостных элементов уменьшаются с ростом номера гармоники.
Комплексные сопротивления третьей гармоники
3ωL1
= j75
Ом;
3ωL2
= j75
Ом;
Ом.
Входное комплексное сопротивление третьей гармоники:
Комплексные значения напряжений и токов третьей гармоники:
Действующие
значения токов и напряжений третьей
гармоники:
Мгновенное значение выходного напряжения третьей гармоники:
2. Построить для одной из гармоник векторную диаграмму токов и напряжений на всех элементах схемы.
На комплексной плоскости построим векторную диаграмму действующих комплексных токов и напряжений первой гармоники (рис. 4.5), выбрав масштабы для токов и напряжений.
3.
Построим временную зависимость напряжения
uвых(t),
расчет которого выполнен в разделе 1.
Мгновенное значение напряжения uвых(t) равно сумме напряжений всех гармоник:
Построим график напряжения uвых(t) в функции времени. Для чего в одних осях координат построим временные зависимости каждой из гармоник. Искомую временную функцию получим путем графического сложения синусоид всех гармоник.
При построении следует учитывать, что период третьей гармоники в три раза меньше, поэтому масштаб для нее по оси абсцисс в фазовых единицах отличается от масштаба для первой гармоники.
Полученная временная зависимость показана на рис. 4.6.
4. Рассчитать действующие значения входного тока и напряжения.
Действующее значение входного тока
I3=
=
=0,1176
А.
Действующее значение входного напряжения
Uвх
=
=
=7,34
В.
6. Рассчитать активную и полную мощности цепи.
Активная мощность цепи при питании от несинусоидального периодического источника напряжения определяется, как сумма активных мощностей всех гармоник:
Р = Р(0) + Р(1) + Р(3) +…+Р(k) =
=U0I0+
…
.
Полная мощность определяется
где U и I – действующие значения несинусоидального напряжения и тока.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Воронежский государственный технический университет
Кафедра электротехники